i Afirme se
ou não
, e, se não, quais condições devem ser impostas para
e
se:
, onde
é qualquer vetor, exceto
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar em cada caso se
ou não, e, quando a igualdade não decorre diretamente, determinar quais restrições adicionais sobre as componentes de
e
seriam necessárias para que ela valha. O conteúdo envolve interpretação de produto escalar e vetorial em termos de componentes num sistema cartesiano
.
Passo 2
Caso (a):
.
Seja e
.
Pelo produto escalar com temos
Seja
Pelo produto escalar com
logo a condição dá
. Isso não impõe nada sobre
nem
, de modo que em geral
. Para forçar
seria preciso ainda ter
e
.
Passo 3
Caso (b):
.
Calculando o produto vetorial
Calculando o produto vetorial
a igualdade impõe
e
, mas não diz nada sobre
. Assim
em geral. Para obter
precisaria ainda
.
Passo 4
Caso (c):
e
.
Da primeira vem e da segunda vêm
,
. Juntando todas, obtemos
Da primeira vem
Passo 5
Caso (d):
e
para algum
.
Decompomos em partes paralela e perpendicular a
, e análogamente
. O produto escalar igual garante
e o vetorial igual (que é injetivo na subespaço perpendicular a
) força
. Assim
.
Decompomos
Resposta
(a)
. A condição dá
; para ter
é preciso ainda
e
.
(b) . A condição dá
e
; para ter
é preciso ainda
.
(c) . As duas condições juntas dão
,
e
.
(d) . As igualdades de produto escalar e vetorial com qualquer
garantem todas as componentes iguais.
(b)
(c)
(d)