i Afirme se \mathbf{A}=\mathbf{B} ou não (\mathbf{A} \neq \mathbf{B}), e, se não, quais condições devem ser impostas para \mathbf{A} e \mathbf{B} se: (a) \mathbf{A} \cdot \mathbf{a}_{x}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{a}_{x} ;(b) \mathbf{A} \times \mathbf{a}_{x}=\mathbf{B} \times \mathbf{a}_{x} ;\text{(c)} \mathbf{A} \cdot \mathbf{a}_{x} =\mathbf{B} \cdot \mathbf{a}_{x} \mathbf{e} \mathbf{A} \times \mathbf{a}_{x}=\mathbf{B} \times \mathbf{a}_{x} ;(d) \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{C e} \mathbf{A} \times \mathbf{C}=\mathbf{B} \times \mathbf{C}, onde \mathbf{C} é qualquer vetor, exceto \mathbf{C}=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar em cada caso se \mathbf{A}=\mathbf{B} ou não, e, quando a igualdade não decorre diretamente, determinar quais restrições adicionais sobre as componentes de \mathbf{A} e \mathbf{B} seriam necessárias para que ela valha. O conteúdo envolve interpretação de produto escalar e vetorial em termos de componentes num sistema cartesiano (\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z).

Passo 2

Caso (a): \mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_x=\mathbf{B}\cdot\mathbf{a}_x.
Seja \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z).
Pelo produto escalar com \mathbf{a}_x temos
\mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_x=A_x, \quad \mathbf{B}\cdot\mathbf{a}_x=B_x,
logo a condição dá A_x=B_x. Isso não impõe nada sobre A_y,B_y nem A_z,B_z, de modo que em geral \mathbf{A}\neq\mathbf{B}. Para forçar \mathbf{A}=\mathbf{B} seria preciso ainda ter A_y=B_y e A_z=B_z.

Passo 3

Caso (b): \mathbf{A}\times\mathbf{a}_x=\mathbf{B}\times\mathbf{a}_x.
Calculando o produto vetorial
\mathbf{A}\times\mathbf{a}_x =A_z\,\mathbf{a}_y - A_y\,\mathbf{a}_z, \quad \mathbf{B}\times\mathbf{a}_x =B_z\,\mathbf{a}_y - B_y\,\mathbf{a}_z,
a igualdade impõe A_z=B_z e A_y=B_y, mas não diz nada sobre A_x,B_x. Assim \mathbf{A}\neq\mathbf{B} em geral. Para obter \mathbf{A}=\mathbf{B} precisaria ainda A_x=B_x.

Passo 4

Caso (c):
\mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_x=\mathbf{B}\cdot\mathbf{a}_x e \mathbf{A}\times\mathbf{a}_x=\mathbf{B}\times\mathbf{a}_x.
Da primeira vem A_x=B_x e da segunda vêm A_y=B_y, A_z=B_z. Juntando todas, obtemos \mathbf{A}=\mathbf{B}$.

Passo 5

Caso (d):
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} e \mathbf{A}\times\mathbf{C}=\mathbf{B}\times\mathbf{C} para algum \mathbf{C}\neq\mathbf{0}.
Decompomos \mathbf{A}=\mathbf{A}_\parallel+\mathbf{A}_\perp em partes paralela e perpendicular a \mathbf{C}, e análogamente \mathbf{B}=\mathbf{B}_\parallel+\mathbf{B}_\perp. O produto escalar igual garante \mathbf{A}_\parallel=\mathbf{B}_\parallel e o vetorial igual (que é injetivo na subespaço perpendicular a \mathbf{C}) força \mathbf{A}_\perp=\mathbf{B}_\perp. Assim \mathbf{A}=\mathbf{B}.

Resposta

(a) \mathbf{A}\neq\mathbf{B}. A condição dá A_x=B_x; para ter \mathbf{A}=\mathbf{B} é preciso ainda A_y=B_y e A_z=B_z.
(b) \mathbf{A}\neq\mathbf{B}. A condição dá A_y=B_y e A_z=B_z; para ter \mathbf{A}=\mathbf{B} é preciso ainda A_x=B_x.
(c) \mathbf{A}=\mathbf{B}. As duas condições juntas dão A_x=B_x, A_y=B_y e A_z=B_z.
(d) \mathbf{A}=\mathbf{B}. As igualdades de produto escalar e vetorial com qualquer \mathbf{C}\neq\mathbf{0} garantem todas as componentes iguais.

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