Considere o problema da barreira de potencial quando . Encontre a solução geral, inclusive determinando qual(is) é(são) a(s) constante(s) que se anula(m) e obtenha o coeficiente de transmissão.
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre espalhamento quântico num “barrier” de potencial retangular de altura e largura , no caso em que a energia da partícula é menor que .
Conteúdo: Equação de Schrödinger unidimensional, soluções em três regiões (antes, dentro e depois da barreira), condições de contorno (continuidade de e ) e cálculo do coeficiente de transmissão .
Vamos precisar:
Montar a solução geral da EDO em cada região.
Impor continuidade de e em e .
Mostrar que algumas constantes viram zero (sem onda viajando pra trás em ).
Calcular .
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger estacionária
com
Definimos
k = raiz2mEhbar, kappa = raiz2m,(V0 - E)hbar
As soluções gerais:
Região I psiI(x) = A,e^ikx + B,e^-ikx : onda incidente da esquerda + refletida,
psiII(x) = C,e^kappa x + D,e^-kappa x
Região II psiIII(x) = F,e^ikx : gera ondas evanescentes,
Região III : só onda transmitida para a direita (não queremos onda chegando da direita),
Aqui vemos que não aparece termo em III porque impomos “sem onda vindo de ”.
Passo 3
Agora as condições de contorno: em psiI(0) = psiII(0) e psiI'(0) = psiII'(0), ,
psiII(a) = psiIII(a) e psiII'(a) = psiIII'(a),
ou seja
(1);
(2); .
Em ,
isto dá
(3);
(4);
Passo 4
A parada agora é resolver esse sistema de 4 equações para as 4 incógnitas sabendo que a amplitude incidente pode ser normalizada (por convenção, tomamos ).
Em geral, a gente junta (3) e (4) para achar e em função de , e depois insere em (1) e (2) pra achar e .
O detalhe teórico: dentro da barreira temos ondas que decaem e que crescem, mas como a região é finita ambas são válidas. Já em descartamos o termo pra não ter onda vindo de lá.
Passo 5
Depois de um pouco de álgebra (multiplicar, somar, etc.), chega-se ao coeficiente de transmissão
T = gl|FAgr|^2 = 11 + dfracV0^24E(V0 - E),sinh^2(kappa a)
Esse resultado mostra que, mesmo para , existe transmissão (efeito tunelamento), decaindo exponencialmente com .
Resposta
Coeficiente de transmissão para boxedT = 11 + V0^24E(V0 - E),sinh^2!l(kappa,ar), kappa = raiz2m,(V0 - E)hbar :