Considere um potencial
na equação de Schrödinger independente do tempo. Mostre que, através de uma mudança de variável conveniente, a equação resultante é:
em que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a equação de Schrödinger independente do tempo em 1D com potencial
.
O objetivo é, por meio de uma troca de variável bem escolhida, mostrar que a eq. vira
O objetivo é, por meio de uma troca de variável bem escolhida, mostrar que a eq. vira
onde
O que vamos usar: a forma da Schrödinger estacionária, mudança de variável para tornar tudo dimensionless e a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger em
:
A ideia é definir uma nova variável
proporcional a
de modo que o potencial e a energia fiquem na forma
.
Passo 3
Escolhemos
Logo
Também custa pouco ver que a energia
, onde
.
Passo 4
Agora precisamos trocar derivadas em
por derivadas em
. Usando a regra da cadeia:
e
onde
significa
.
Passo 5
Substituindo tudo na Schrödinger:
Multiplicando por
:
onde
e
.
Reorganizando:
Reorganizando: