Considere um potencial V(x)=V0 cdot e^-2 lambda x na equação de Schrödinger independente do tempo. Mostre que, através de uma mudança de variável conveniente, a equação resultante é:
y^2 d^2 psid y^2+y d psid y+(alpha^2-beta^2 y^2) psi=0,
em que
alpha^2 & =2 m Elambda^2 hbar^2, beta^2 & =2 m V0lambda^2 hbar^2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a equação de Schrödinger independente do tempo em 1D com potencial
y^2d^2psidy^2+ydpsidy+l(alpha^2-beta^2y^2r)psi=0, .
O objetivo é, por meio de uma troca de variável bem escolhida, mostrar que a eq. vira
alpha^2=2mElambda^2hbar^2, beta^2=2mV0lambda^2hbar^2
onde
O que vamos usar: a forma da Schrödinger estacionária, mudança de variável para tornar tudo dimensionless e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger em -hbar^22m,d^2psidx^2 + V0,e^-2lambda x,psi = E,psi :
A ideia é definir uma nova variável proporcional a de modo que o potencial e a energia fiquem na forma .

Passo 3

Escolhemos
y = raiz2mV0hbar,lambda;e^-lambda x
Logo
e^-2lambda x =l(tfrachbar,lambdaraiz2mV0r)^2y^2 Longrightarrow V(x)=V0,e^-2lambda x =hbar^2lambda^22m,y^2
Também custa pouco ver que a energia , onde
.

Passo 4

Agora precisamos trocar derivadas em dpsidx =dydxdpsidy =-lambda,y,dpsidy, por derivadas em d^2psidx^2 =ddxl(-lambda y,psi'r) =-lambdal(dydxpsi' + ydpsi'dxr) =lambda^2l(y^2psi''+ypsi'r), . Usando a regra da cadeia:
e
onde significa .

Passo 5

Substituindo tudo na Schrödinger:
-hbar^22m,lambda^2l(y^2psi''+ypsi'r) +hbar^2lambda^22m,y^2,psi =;E,psi
Multiplicando por -l(y^2psi''+ypsi'r)+beta^2y^2psi =alpha^2,psi, :
y^2psi''+ypsi'+l(alpha^2-beta^2y^2r)psi=0
onde e .
Reorganizando:

Resposta

boxed y^2d^2psidy^2+ydpsidy+l(alpha^2-beta^2y^2r)psi=0, alpha^2=2mElambda^2hbar^2, beta^2=2mV0lambda^2hbar^2

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