A lagrangiana de um sistema descrito pela coordenada generalizada
e por sua derivada temporal
é
onde
e
são constantes. Qual é a hamiltoniana correspondente?
O momento canônico é dado por
Assinale a alternativa correta:
a)
, onde o momento canônico é
.
b)
onde o momento canônico é
.
c)
onde o momento canônico é
.
d)
onde o momento canônico é
.
e)
onde o momento canônico é
.
O momento canônico é dado por
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
- A lagrangiana dada é
onde e são constantes. - O momento canônico fornecido é
- O objetivo: achar a hamiltoniana correspondente
e identificar qual alternativa entre (a)–(e) é a correta.
Passo 2
Explicação rápida do que é a hamiltoniana e como calculá-la (passo conceitual, sem ainda resolver): a hamiltoniana é obtida pela transformada de Legendre da lagrangiana em relação a
. A definição prática que usamos em mecânica clássica é
onde
deve ser expresso em função de
e
(ou seja, inverter a relação
). Então o procedimento é:
- Expressar
em termos de e usando a expressão de . - Calcular
. - Substituir
em para escrever em termos de e . - Fazer
e simplificar.
Passo 3
Resolver a expressão do momento para isolar
. A partir de
divide-se por
(assumindo
) para obter
Passo 4
A partir de
isolamos
:
Aqui fiz apenas álgebra linear: subtrai
e divide por
.
Passo 5
Agora escrevemos
em termos de
e
. Como
e já temos
, temos
Passo 6
Calculemos
usando
:
Passo 7
Aplicando a definição da hamiltoniana
e substituindo os resultados dos passos anteriores:
Agora simplificamos a parte com
:
Logo
Passo 8
Interpretação final: a expressão encontrada para
é
, lembrando que o momento canônico usado foi
(justamente a relação dada no enunciado).
Resposta
(a)