A lagrangiana de um sistema descrito pela coordenada generalizada q e por sua derivada temporal \dot{q} é
\mathcal{L}(\dot{q}, q)=(a \dot{q}+b q)^{2}
onde a e b são constantes. Qual é a hamiltoniana correspondente?
O momento canônico é dado por
p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}=2 a(a \dot{q}+b q) .
Assinale a alternativa correta:
a) \mathcal{H}=\frac{p^{2}}{4 a^{2}}-\frac{b}{a} p q, onde o momento canônico é p=2 a(a \dot{q}+b q).
b) \mathcal{H}=\frac{1}{2 a^{2}} p^{2}+\frac{1}{2} a^{2} b^{4} q^{2} onde o momento canônico é p=\sqrt{a} \dot{q}.
c) \mathcal{H}=\frac{1}{2 a^{2}} p^{2}-\frac{1}{2} a^{2} b^{4} q^{2} onde o momento canônico é p=\sqrt{a} \dot{q}.
d) \mathcal{H}=\frac{1}{2 a^{2}} p^{2}+\frac{1}{2} a^{2} b^{4} q^{2} onde o momento canônico é p=2 a(a \dot{q}+b q).
e) \mathcal{H}=\frac{p^{2}}{4 a^{2}}+\frac{b p q}{a} onde o momento canônico é p=2 a(a \dot{q}+b q).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • A lagrangiana dada é \mathcal{L}(\dot{q},q)=(a\dot{q}+b q)^{2}, onde a e b são constantes.
  • O momento canônico fornecido é p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}=2a\bigl(a\dot{q}+b q\bigr).
  • O objetivo: achar a hamiltoniana correspondente \mathcal{H}(p,q) e identificar qual alternativa entre (a)–(e) é a correta.

Passo 2

Explicação rápida do que é a hamiltoniana e como calculá-la (passo conceitual, sem ainda resolver): a hamiltoniana é obtida pela transformada de Legendre da lagrangiana em relação a \dot{q}. A definição prática que usamos em mecânica clássica é
\mathcal{H}(p,q)=p\dot{q}-\mathcal{L}(\dot{q},q),
onde \dot{q} deve ser expresso em função de p e q (ou seja, inverter a relação p(\dot{q},q)). Então o procedimento é:
  1. Expressar \dot{q} em termos de p e q usando a expressão de p.
  2. Calcular p\dot{q}.
  3. Substituir \dot{q} em \mathcal{L} para escrever \mathcal{L} em termos de p e q.
  4. Fazer \mathcal{H}=p\dot{q}-\mathcal{L} e simplificar.

Passo 3

Resolver a expressão do momento para isolar a\dot{q}+b q. A partir de
p=2a\bigl(a\dot{q}+b q\bigr),
divide-se por 2a (assumindo a\neq0) para obter
a\dot{q}+b q=\frac{p}{2a}.

Passo 4

A partir de \;a\dot{q}+b q=\dfrac{p}{2a}\; isolamos \dot{q}:
\dot{q}=\frac{1}{a}\left(\frac{p}{2a}-b q\right)=\frac{p}{2a^{2}}-\frac{b}{a}q.
Aqui fiz apenas álgebra linear: subtrai \;b q\; e divide por a.

Passo 5

Agora escrevemos \mathcal{L} em termos de p e q. Como \mathcal{L}=(a\dot{q}+b q)^{2} e já temos a\dot{q}+b q=\dfrac{p}{2a}, temos
\mathcal{L}=\left(\frac{p}{2a}\right)^{2}=\frac{p^{2}}{4a^{2}}.

Passo 6

Calculemos p\dot{q} usando \dot{q}=\dfrac{p}{2a^{2}}-\dfrac{b}{a}q:
p\dot{q}=p\left(\frac{p}{2a^{2}}-\frac{b}{a}q\right)=\frac{p^{2}}{2a^{2}}-\frac{b}{a}p q.

Passo 7

Aplicando a definição da hamiltoniana \mathcal{H}=p\dot{q}-\mathcal{L} e substituindo os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{H}=\left(\frac{p^{2}}{2a^{2}}-\frac{b}{a}p q\right)-\frac{p^{2}}{4a^{2}}.
Agora simplificamos a parte com p^{2}:
\frac{p^{2}}{2a^{2}}-\frac{p^{2}}{4a^{2}}=\frac{p^{2}}{4a^{2}}.
Logo
\mathcal{H}=\frac{p^{2}}{4a^{2}}-\frac{b}{a}p q.

Passo 8

Interpretação final: a expressão encontrada para \mathcal{H} é \dfrac{p^{2}}{4a^{2}}-\dfrac{b}{a}p q, lembrando que o momento canônico usado foi p=2a(a\dot{q}+b q) (justamente a relação dada no enunciado).

Resposta

(a)

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