Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
Passo 1
Temos que calcular a integral indefinida . O conteúdo que vamos usar envolve a substituição de Weierstrass (função tangente do semiencontro) para transformar a integral de uma função trigonométrica em uma integral racional e, em seguida, aplicar frações parciais.
Passo 2
Fazemos a substituição de Weierstrass: . Sabemos que
Como , substituímos abaixo.
Passo 3
Substituindo na integral obtemos
Agora temos uma integral racional em .
Passo 4
Aplicamos a decomposição em frações parciais na função . Como , escrevemos
Encontrando e , obtemos e , logo
Passo 5
Integramos cada parcela:
Somando e adicionando a constante C, resulta
-lnl|1-tr| + lnl|1+tr| + C = ln|1+t1-t| + C
Passo 6
Retornando à variável original x pela relação t=tan(x/2), temos
ln|1+tan(tfracx2)1-tan(tfracx2)| + C
Sabe-se que essa expressão é equivalente a lnl|sec x + tan xr| + C, completando a solução.