Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
integral sec (x) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida integral sec x,dx. O conteúdo que vamos usar envolve a substituição de Weierstrass (função tangente do semiencontro) para transformar a integral de uma função trigonométrica em uma integral racional e, em seguida, aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição de Weierstrass: t = tanl(tfracx2r). Sabemos que
sin x = 2t1+t^2, cos x = 1-t^21+t^2, dx = 2,dt1+t^2
Como sec x = 1/cos x, substituímos abaixo.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
integral sec x,dx = integral 1cos x,dx = integral 1+t^21-t^2,2,dt1+t^2 = integral 21-t^2,dt
Agora temos uma integral racional em t.

Passo 4

Aplicamos a decomposição em frações parciais na função tfrac21-t^2. Como 1-t^2=(1-t)(1+t), escrevemos
21-t^2 = A1-t + B1+t
Encontrando A e B, obtemos A=1 e B=1, logo
21-t^2 = 11-t + 11+t

Passo 5

Integramos cada parcela:
integral 11-t,dt = -lnl|1-tr|, integral 11+t,dt = lnl|1+tr|
Somando e adicionando a constante C, resulta
-lnl|1-tr| + lnl|1+tr| + C = ln|1+t1-t| + C

Passo 6

Retornando à variável original x pela relação t=tan(x/2), temos
ln|1+tan(tfracx2)1-tan(tfracx2)| + C
Sabe-se que essa expressão é equivalente a lnl|sec x + tan xr| + C, completando a solução.

Resposta

lnl|sec x + tan xr| + C

Exercícios relacionados