2.1 Considere o problema da precessão do spin discutido no texto. Ele também pode ser resolvido na representação de Heisenberg. Utilizando o Hamiltoniano
escreva as equações de movimento de Heisenberg para os operadores S_{x}(t), S_{y}(t) e S_{z}(t) dependentes do tempo. Resolva-as para obter S_{x, y, z} como funções do tempo.
e pede que a gente escreva as equações de movimento de Heisenberg para os operadores \,S_{x}(t),\,S_{y}(t),\,S_{z}(t)\, e que resolva essas equações para obter \,S_{x}(t),\,S_{y}(t),\,S_{z}(t)\, como funções do tempo.
Informações relevantes para resolver o problema (elas são necessárias mesmo que o enunciado não as declare explicitamente):
Os operadores de spin satisfazem as relações de comutação padrão
[S_i,S_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk} S_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita e i,j,k\in\{x,y,z\}.
O Hamiltoniano é proporcional a S_z com constante \omega dada no enunciado.
Nada mais é pedido além de escrever as equações de movimento de Heisenberg e resolvê-las para obter as dependências temporais de S_x,S_y,S_z.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento de Heisenberg: para um operador A(t) no formalismo de Heisenberg, a equação de movimento é
Aqui não há dependência explícita de tempo nos operadores de spin, então o segundo termo é zero. Portanto usamos
\frac{dA(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)].
Isto é uma fórmula fundamental: o evolver temporal do operador é dado pelo comutador com o Hamiltoniano multiplicado por i/\hbar. Vamos aplicá-la aos operadores S_x(t),S_y(t),S_z(t).
Passo 3
Aplicamos a equação de Heisenberg usando H=\omega S_z.
Agora vamos resolver o sistema para S_x(t) e S_y(t). Uma maneira simples é eliminar uma das variáveis: por exemplo, derivando a primeira equação em relação ao tempo:
\frac{d^2 S_x}{dt^2} = -\omega \frac{dS_y}{dt}.
Substituímos \frac{dS_y}{dt}=\omega S_x da segunda equação e obtemos
\frac{d^2 S_x}{dt^2} = -\omega^2 S_x.
Esta é uma equação diferencial harmônica simples cuja solução geral (operador dependente do tempo) é combinação de cosseno e seno:
S_x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são operadores independentes do tempo que serão fixados pelas condições iniciais S_x(0) e S_y(0).
Passo 5
Determinamos A e B usando as condições iniciais. Em t=0,
S_x(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A.
Logo A=S_x(0).
Para achar B, derivamos S_x(t) e avaliamos em t=0:
Mas pela equação de movimento \left.\frac{dS_x}{dt}\right|_{t=0}=-\omega S_y(0). Assim
\omega B = -\omega S_y(0)\quad\Rightarrow\quad B = -S_y(0).
Portanto a solução para S_x(t) é
S_x(t)=S_x(0)\cos(\omega t)-S_y(0)\sin(\omega t).
Passo 6
Agora obtemos S_y(t). Podemos usar a relação da segunda equação \frac{dS_y}{dt}=\omega S_x ou usar simetria/analogias entre seno e cosseno. Usando a forma encontrada para S_x(t) e integrando, ou simplesmente impondo condições iniciais e consistência com o sistema, achamos
S_y(t)=S_x(0)\sin(\omega t)+S_y(0)\cos(\omega t).
Verificação rápida: derivando esta expressão temos
o que bate com a equação de movimento. E em t=0 dá S_y(0) como deve ser.
Além disso já vimos que
S_z(t)=S_z(0)
é independente do tempo.
Passo 7
Interpretação compacta (útil para a prova): as duas equações para S_x e S_y representam uma rotação no plano xy em torno de z com ângulo \omega t. Em forma matricial (se quiser visualizar),