2.1 Considere o problema da precessão do spin discutido no texto. Ele também pode ser resolvido na representação de Heisenberg. Utilizando o Hamiltoniano
H=-\left(\frac{e B}{m c}\right) S_{z}=\omega S_{z}
escreva as equações de movimento de Heisenberg para os operadores S_{x}(t), S_{y}(t) e S_{z}(t) dependentes do tempo. Resolva-as para obter S_{x, y, z} como funções do tempo.

Passo 1

O enunciado dá o Hamiltoniano
H=-\left(\frac{e B}{m c}\right) S_{z}=\omega S_{z},
e pede que a gente escreva as equações de movimento de Heisenberg para os operadores \,S_{x}(t),\,S_{y}(t),\,S_{z}(t)\, e que resolva essas equações para obter \,S_{x}(t),\,S_{y}(t),\,S_{z}(t)\, como funções do tempo.
Informações relevantes para resolver o problema (elas são necessárias mesmo que o enunciado não as declare explicitamente):
  • Os operadores de spin satisfazem as relações de comutação padrão
[S_i,S_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk} S_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita e i,j,k\in\{x,y,z\}.
  • O Hamiltoniano é proporcional a S_z com constante \omega dada no enunciado.
    Nada mais é pedido além de escrever as equações de movimento de Heisenberg e resolvê-las para obter as dependências temporais de S_x,S_y,S_z.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento de Heisenberg: para um operador A(t) no formalismo de Heisenberg, a equação de movimento é
\frac{dA(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_{\text{explícito}}.í
Aqui não há dependência explícita de tempo nos operadores de spin, então o segundo termo é zero. Portanto usamos
\frac{dA(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)].
Isto é uma fórmula fundamental: o evolver temporal do operador é dado pelo comutador com o Hamiltoniano multiplicado por i/\hbar. Vamos aplicá-la aos operadores S_x(t),S_y(t),S_z(t).

Passo 3

Aplicamos a equação de Heisenberg usando H=\omega S_z.
Para S_x(t):
\frac{dS_x(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,S_x(t)]=\frac{i}{\hbar}\,\omega\,[S_z,S_x(t)].
Usando a relação de comutação dos spins [S_z,S_x]=i\hbar S_y, obtemos
\frac{dS_x(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}\,\omega\,(i\hbar S_y(t))= -\omega S_y(t).
Para S_y(t):
\frac{dS_y(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,S_y(t)]=\frac{i}{\hbar}\,\omega\,[S_z,S_y(t)].
Usando [S_z,S_y]=-i\hbar S_x, obtemos
\frac{dS_y(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}\,\omega\,(-i\hbar S_x(t))= \omega S_x(t).
Para S_z(t):
\frac{dS_z(t)}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,S_z(t)]=\frac{i}{\hbar}\,\omega\,[S_z,S_z]=0,
pois [S_z,S_z]=0. Logo S_z(t) é constante no tempo.
Resumindo, o sistema de equações diferenciais (autêntico e compacto) é
\frac{dS_x}{dt}=-\omega S_y,\qquad \frac{dS_y}{dt}= \omega S_x,\qquad \frac{dS_z}{dt}=0.

Passo 4

Agora vamos resolver o sistema para S_x(t) e S_y(t). Uma maneira simples é eliminar uma das variáveis: por exemplo, derivando a primeira equação em relação ao tempo:
\frac{d^2 S_x}{dt^2} = -\omega \frac{dS_y}{dt}.
Substituímos \frac{dS_y}{dt}=\omega S_x da segunda equação e obtemos
\frac{d^2 S_x}{dt^2} = -\omega^2 S_x.
Esta é uma equação diferencial harmônica simples cuja solução geral (operador dependente do tempo) é combinação de cosseno e seno:
S_x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são operadores independentes do tempo que serão fixados pelas condições iniciais S_x(0) e S_y(0).

Passo 5

Determinamos A e B usando as condições iniciais. Em t=0,
S_x(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A.
Logo A=S_x(0).
Para achar B, derivamos S_x(t) e avaliamos em t=0:
\frac{dS_x}{dt}=-\omega A\sin(\omega t)+\omega B\cos(\omega t).
Em t=0,
\left.\frac{dS_x}{dt}\right|_{t=0}=\omega B.
Mas pela equação de movimento \left.\frac{dS_x}{dt}\right|_{t=0}=-\omega S_y(0). Assim
\omega B = -\omega S_y(0)\quad\Rightarrow\quad B = -S_y(0).
Portanto a solução para S_x(t) é
S_x(t)=S_x(0)\cos(\omega t)-S_y(0)\sin(\omega t).

Passo 6

Agora obtemos S_y(t). Podemos usar a relação da segunda equação \frac{dS_y}{dt}=\omega S_x ou usar simetria/analogias entre seno e cosseno. Usando a forma encontrada para S_x(t) e integrando, ou simplesmente impondo condições iniciais e consistência com o sistema, achamos
S_y(t)=S_x(0)\sin(\omega t)+S_y(0)\cos(\omega t).
Verificação rápida: derivando esta expressão temos
\frac{dS_y}{dt}=\omega S_x(0)\cos(\omega t)-\omega S_y(0)\sin(\omega t)=\omega S_x(t),
o que bate com a equação de movimento. E em t=0 S_y(0) como deve ser.
Além disso já vimos que
S_z(t)=S_z(0)
é independente do tempo.

Passo 7

Interpretação compacta (útil para a prova): as duas equações para S_x e S_y representam uma rotação no plano xy em torno de z com ângulo \omega t. Em forma matricial (se quiser visualizar),
\begin{pmatrix}S_x(t)\\[4pt] S_y(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\omega t) & -\sin(\omega t)\\[4pt] \sin(\omega t) & \cos(\omega t)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}S_x(0)\\[4pt] S_y(0)\end{pmatrix},
e S_z(t)=S_z(0). É a precessão clássica do vetor de spin em torno do eixo z com frequência \omega.]

Resposta

S_x(t)=S_x(0)\cos(\omega t)-S_y(0)\sin(\omega t)
S_y(t)=S_x(0)\sin(\omega t)+S_y(0)\cos(\omega t)
S_z(t)=S_z(0)

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