Uma massa de 1 slug, quando presa a uma mola, distende-a em 2 pés e então chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de t=0, uma força externa igual a f(t)=8 \operatorname{sen} 4 t é aplicada ao sistema. Qual é a equação do movimento se o meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação do movimento do sistema:
  • Massa: \;1 slug (presa a uma mola).
  • A mola é esticada \;2 pés quando a massa fica em repouso na posição de equilíbrio.
  • A partir de t=0 passa a atuar uma força externa \;f(t)=8\sin 4t.
  • O meio oferece força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea (ou seja, força de amortecimento proporcional à velocidade, com constante igual a 8).
  • Pergunta: qual é a equação do movimento (isto é, encontrar x(t) para t\ge0), sabendo que no instante t=0 o sistema estava em repouso na posição de equilíbrio?

Passo 2

Traduzindo as informações físicas para constantes do modelo:
  • Peso da massa: para massa em slugs usamos g=32\\ \text{ft/s}^{2}. Então o peso é \;mg=1\cdot 32=32 (lbf). Vou usar isso para achar a constante da mola.
  • A mola se estica \;2 pés até o equilíbrio estático, ou seja, pela lei de Hooke k x_{\text{eq}} = mg. Assim
k\cdot 2 = 32 \quad\Rightarrow\quad k=16.
Logo a constante elástica é \;k=16 (unidades lbf/ft).
  • A força de amortecimento é numericamente igual a oito vezes a velocidade, isto é, a força de amortecimento tem a forma -c x'(t) com c=8.
  • A força externa é f(t)=8\sin 4t.

Passo 3

Escrevendo a equação de movimento do oscilador massa-mola-amortecedor com força externa: a forma geral é
m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = f(t),
onde
  • m é a massa (em slugs),
  • c é o coeficiente de amortecimento,
  • k é a constante da mola,
  • f(t) é a força externa aplicada,
  • x(t) é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio (importante: escolhemos origem em x=0 como a posição de equilíbrio onde a massa estava em repouso antes de t=0).
Substituindo os valores encontrados:
1\cdot x''(t) + 8 x'(t) + 16 x(t) = 8\sin 4t.
Ou, de forma simplificada,
x''(t) + 8 x'(t) + 16 x(t) = 8\sin 4t.

Passo 4

Condições iniciais: como a massa estava em repouso na posição de equilíbrio no instante t=0, temos
x(0)=0,\qquad x'(0)=0.
Agora vamos resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante trigonométrico.

Passo 5

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
x'' + 8x' +16x = 0.
A equação característica é
r^{2} + 8r + 16 = 0.
Calculando as raízes:
r = \frac{-8 \pm \sqrt{8^{2}-4\cdot1\cdot16}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64-64}}{2} = \frac{-8}{2} = -4.
Temos uma raiz dupla r=-4. Para raiz dupla, a solução geral da homogênea é
x_{h}(t) = C_{1} e^{-4t} + C_{2}\, t e^{-4t},
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora buscamos uma solução particular x_{p}(t) para o termo forçante 8\sin 4t. Como o forçante é senoidal, tentamos por coeficientes indeterminados a forma
x_{p}(t) = A\cos 4t + B\sin 4t,
onde A e B são constantes a determinar.
Calculamos derivadas:
x_{p}'(t) = -4A\sin 4t + 4B\cos 4t,
x_{p}''(t) = -16A\cos 4t -16B\sin 4t.
Substituímos na equação x''+8x'+16x=8\sin 4t:
(-16A\cos 4t -16B\sin 4t) + 8(-4A\sin 4t + 4B\cos 4t) + 16(A\cos 4t + B\sin 4t) = 8\sin 4t.
Agrupando os termos em \cos 4t e \sin 4t:
  • Coeficiente de \cos 4t:
-16A + 8\cdot 4B + 16A = 32B.
  • Coeficiente de \sin 4t:
-16B + 8\cdot(-4A) + 16B = -32A.
Portanto a expressão da esquerda fica 32B\cos 4t -32A\sin 4t. Igualando ao lado direito 8\sin 4t + 0\cos 4t, obtemos o sistema:
32B = 0,\qquad -32A = 8.
Assim
B=0,\qquad A = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}.
Logo a solução particular é
x_{p}(t) = -\frac{1}{4}\cos 4t.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t) = C_{1} e^{-4t} + C_{2}\, t e^{-4t} - \frac{1}{4}\cos 4t.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, x(0)=0
x(0) = C_{1} + 0 - \frac{1}{4}\cos 0 = C_{1} - \frac{1}{4} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_{1} = \frac{1}{4}.
Calculamos x'(t) para usar x'(0)=0. Derivando x(t):
x'(t) = -4C_{1} e^{-4t} + C_{2} e^{-4t} -4C_{2} t e^{-4t} + \sin 4t.
Observação: a derivada de -\tfrac{1}{4}\cos 4t é \sin 4t porque \dfrac{d}{dt}\big(-\tfrac{1}{4}\cos 4t\big) = -\tfrac{1}{4}(-4\sin 4t) = \sin 4t.
Agora em t=0:
x'(0) = -4C_{1} + C_{2} + 0 + \sin 0 = -4C_{1} + C_{2}.
Como x'(0)=0 e C_{1}=\tfrac{1}{4}, segue
0 = -4\cdot \tfrac{1}{4} + C_{2} = -1 + C_{2} \quad\Rightarrow\quad C_{2} = 1.

Passo 8

Substituindo C_{1}=\tfrac14 e C_{2}=1 na solução geral, obtemos a solução final do problema:
x(t) = \frac{1}{4}e^{-4t} + t e^{-4t} - \frac{1}{4}\cos 4t.
Isto é a posição da massa medida a partir da posição de equilíbrio para t\ge0.

Resposta

x(t)=\frac{1}{4}e^{-4t}+t e^{-4t}-\frac{1}{4}\cos 4t.

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