Uma massa de 1 slug, quando presa a uma mola, distende-a em 2 pés e então chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de
, uma força externa igual a
é aplicada ao sistema. Qual é a equação do movimento se o meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação do movimento do sistema:
- Massa:
slug (presa a uma mola). - A mola é esticada
pés quando a massa fica em repouso na posição de equilíbrio. - A partir de
passa a atuar uma força externa . - O meio oferece força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade instantânea (ou seja, força de amortecimento proporcional à velocidade, com constante igual a
). - Pergunta: qual é a equação do movimento (isto é, encontrar
para ), sabendo que no instante o sistema estava em repouso na posição de equilíbrio?
Passo 2
Traduzindo as informações físicas para constantes do modelo:
- Peso da massa: para massa em slugs usamos
. Então o peso é (lbf). Vou usar isso para achar a constante da mola. - A mola se estica
pés até o equilíbrio estático, ou seja, pela lei de Hooke . Assim
Logo a constante elástica é
(unidades lbf/ft).
- A força de amortecimento é numericamente igual a oito vezes a velocidade, isto é, a força de amortecimento tem a forma
com . - A força externa é
.
Passo 3
Escrevendo a equação de movimento do oscilador massa-mola-amortecedor com força externa: a forma geral é
onde
-
é a massa (em slugs), -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é a força externa aplicada, -
é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio (importante: escolhemos origem em como a posição de equilíbrio onde a massa estava em repouso antes de ).
Substituindo os valores encontrados:
Ou, de forma simplificada,
Passo 4
Condições iniciais: como a massa estava em repouso na posição de equilíbrio no instante
, temos
Agora vamos resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante trigonométrico.
Passo 5
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
Calculando as raízes:
Temos uma raiz dupla
. Para raiz dupla, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora buscamos uma solução particular
para o termo forçante
. Como o forçante é senoidal, tentamos por coeficientes indeterminados a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Calculamos derivadas:
Substituímos na equação
:
Agrupando os termos em
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Portanto a expressão da esquerda fica
. Igualando ao lado direito
, obtemos o sistema:
Assim
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro,
dá
Calculamos
para usar
. Derivando
:
Observação: a derivada de
é
porque
.
Agora em
:
Como
e
, segue
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução final do problema:
Isto é a posição da massa medida a partir da posição de equilíbrio para
.