Usando o método das séries de potēncias, resoiva o problema de valor inicial abaixo: \_\_\_\_
\left\{\begin{array}{c} (1-x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0 \\\ y(0)=-3, y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{c} (1-x)\,y''+x\,y'-y=0,\\[4pt] y(0)=-3,\;y'(0)=2, \end{array}\right.
e pede que eu resolva usando séries de potências.\n
Informações relevantes:
\;y é função desconhecida, o ponto de expansão é x=0 (condições iniciais em 0), e devo obter a solução como série de potências em torno de 0.]

Passo 2

Proponho uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os coeficientes a_n são constantes a determinar. Vou explicar o porquê desse ansatz: muitas EDOs com coeficientes polinomiais admitem soluções analíticas em torno de pontos regulares; expressar y como soma de potências permite transformar a EDO em uma relação entre os a_n.\n
Agora calculo as derivadas termo a termo (válido dentro do raio de convergência):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n,
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.
Expliquei as duas formas: a primeira é a forma direta com potências deslocadas; a segunda resulta de reindexar a soma para ter potências x^n (isso facilita combinar termos).

Passo 3

Substituo y, y' e y'' na equação (1-x)y''+x y' - y = 0. Primeiro calculo cada parcela em série (tudo em potências x^n):
Para (1-x)y'':
(1-x)y''=y''-x y''= \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n -\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+1}.
Reescrevendo o segundo somatório para potências x^n (troco índice n\to n-1):
(1-x)y''=2a_2+\sum_{n=1}^{\infty}\big[(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n+1}\big]x^n.
Para x y' já temos (reindexando):
x y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n.
Para -y:
-y=-\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Somando tudo e agrupando coeficientes de x^n obtemos a série nula. Primeiro o termo independente ( x^0) fornece:
2a_2 - a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2=\frac{a_0}{2}.
Para os termos com n\ge 1 o coeficiente de x^n é
(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n+1}+n a_n - a_n=0.
Simplificando n a_n - a_n=(n-1)a_n, obtenho a relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2}=n(n+1)a_{n+1}-(n-1)a_n,\qquad n\ge 1.
Posso dividir por (n+2)(n+1) e escrever explicitamente:
\boxed{\,a_{n+2}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+1)}a_{n+1}-\dfrac{(n-1)}{(n+2)(n+1)}a_n =\dfrac{n}{n+2}a_{n+1}-\dfrac{n-1}{(n+2)(n+1)}a_n\,.}
Essa fórmula permite calcular todos os coeficientes a partir de a_0 e a_1.

Passo 4

Agora uso as condições iniciais para fixar a_0 e a_1:
y(0)=a_0=-3,\qquad y'(0)=a_1=2.
Com a_0=-3 obtenho a_2=\dfrac{a_0}{2}=-\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Calculo alguns termos seguintes usando a recorrência (vou mostrar as contas passo a passo, para você conseguir replicar na prova):
Para n=1 (calcular a_3):
a_3=\frac{1}{3}a_2-\frac{0}{3\cdot 2}a_1=\frac{1}{3}a_2=\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{2}.
(Obs.: usei a forma a_{n+2}=\dfrac{n}{n+2}a_{n+1}-\dfrac{n-1}{(n+2)(n+1)}a_n. Para n=1 o segundo termo some porque n-1=0.)
Para n=2 (calcular a_4):
a_4=\frac{2}{4}a_3-\frac{1}{4\cdot 3}a_2=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{12}\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{8}.
Para n=3 (calcular a_5):
a_5=\frac{3}{5}a_4-\frac{2}{5\cdot 4}a_3 =\frac{3}{5}\left(-\frac{1}{8}\right)-\frac{2}{20}\left(-\frac{1}{2}\right) =-\frac{3}{40}+\frac{1}{20}=-\frac{1}{40}.
Para n=4 (calcular a_6):
a_6=\frac{4}{6}a_5-\frac{3}{6\cdot 5}a_4 =\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{40}\right)-\frac{3}{30}\left(-\frac{1}{8}\right) =-\frac{1}{60}+\frac{1}{80}=-\frac{1}{240}.
Eu mostrei esses termos para você ter prática em usar a recorrência; na prova normalmente é suficiente obter alguns primeiros coeficientes e apresentar a série truncada ou a recorrência geral.

Passo 6

Montando a série com os coeficientes calculados:
y(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5+a_6 x^6+\cdots
Substituindo os valores obtidos:
y(x)=-3+2x-\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{240}x^6+\cdots
Lembre-se: a série completa é gerada pelos coeficientes a_0=-3, a_1=2 e pela recorrência
a_{n+2}=\frac{n}{n+2}a_{n+1}-\frac{n-1}{(n+2)(n+1)}a_n\quad(n\ge1).
Se precisar de mais termos, aplique essa fórmula repetidamente.

Resposta

y(x)=-3+2x-\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{240}x^6+\cdots

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