Usando o método das séries de potēncias, resoiva o problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede que eu resolva usando séries de potências.\n
Informações relevantes:
é função desconhecida, o ponto de expansão é
(condições iniciais em
), e devo obter a solução como série de potências em torno de
.]
Informações relevantes:
Passo 2
Proponho uma solução em série de potências centrada em
:
onde os coeficientes
são constantes a determinar. Vou explicar o porquê desse ansatz: muitas EDOs com coeficientes polinomiais admitem soluções analíticas em torno de pontos regulares; expressar
como soma de potências permite transformar a EDO em uma relação entre os
.\n
Agora calculo as derivadas termo a termo (válido dentro do raio de convergência):
Agora calculo as derivadas termo a termo (válido dentro do raio de convergência):
Expliquei as duas formas: a primeira é a forma direta com potências deslocadas; a segunda resulta de reindexar a soma para ter potências
(isso facilita combinar termos).
Passo 3
Substituo
,
e
na equação
. Primeiro calculo cada parcela em série (tudo em potências
):
Para
:
Reescrevendo o segundo somatório para potências
(troco índice
):
Para
já temos (reindexando):
Para
:
Somando tudo e agrupando coeficientes de
obtemos a série nula. Primeiro o termo independente (
) fornece:
Para os termos com
o coeficiente de
é
Simplificando
, obtenho a relação de recorrência
Posso dividir por
e escrever explicitamente:
Essa fórmula permite calcular todos os coeficientes a partir de
e
.
Passo 4
Agora uso as condições iniciais para fixar
e
:
Com
obtenho
Passo 5
Calculo alguns termos seguintes usando a recorrência (vou mostrar as contas passo a passo, para você conseguir replicar na prova):
Para
(calcular
):
(Obs.: usei a forma
. Para
o segundo termo some porque
.)
Para
(calcular
):
Para
(calcular
):
Para
(calcular
):
Eu mostrei esses termos para você ter prática em usar a recorrência; na prova normalmente é suficiente obter alguns primeiros coeficientes e apresentar a série truncada ou a recorrência geral.
Passo 6
Montando a série com os coeficientes calculados:
Substituindo os valores obtidos:
Lembre-se: a série completa é gerada pelos coeficientes
,
e pela recorrência
Se precisar de mais termos, aplique essa fórmula repetidamente.