Considere o problema quântico de uma partícula de massa m em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição x. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial O atuando em funções da variável x.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável x ) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais psin(x) do operador O. Denotando os autovalores reais de O por lambdan, teremos
O psin(x)=lambdan psin(x), n=1,2, ldots, infty
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Considerando a função de onda do item (A) mostre que
integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) d x=sumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula quântica numa dimensão, com uma função de onda Psi(x, t) que descreve seu estado. A questão fala sobre um operador O com autofunções psin(x) e autovalores lambdan. O que precisamos mostrar é que a integral da densidade de probabilidade Psi^*(x, t) Psi(x, t) ao longo de todo o espaço é igual à soma dos produtos dos coeficientes Cn(t) com seus complexos conjugados Cn^*(t). Para isso, vamos usar conceitos de expansão em bases ortonormais e propriedades de operadores lineares na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda Psi(x, t) como uma combinação linear das autofunções psin(x). Isso é possível porque as psin(x) formam uma base ortonormal para o espaço das funções de onda. Então, temos:
Psi(x, t) = sumn=1^infty Cn(t) psin(x)
Aqui, Cn(t) são os coeficientes que dizem quanto cada autofunção contribui para a função de onda total.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto da função de onda com seu conjugado complexo:
Psi^*(x, t) Psi(x, t) = ( summ=1^infty Cm^*(t) psim^*(x) ) ( sumn=1^infty Cn(t) psin(x) )
Expandindo essa multiplicação, ficamos com uma soma dupla:
Psi^*(x, t) Psi(x, t) = summ=1^infty sumn=1^infty Cm^*(t) Cn(t) psim^*(x) psin(x)

Passo 4

Queremos integrar isso sobre todo o espaço, ou seja, de -infty a infty:
integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) , dx = summ=1^infty sumn=1^infty Cm^*(t) Cn(t) integral-infty^infty psim^*(x) psin(x) , dx
Aqui, usamos a propriedade de ortonormalidade das autofunções, que nos diz que:
integral-infty^infty psim^*(x) psin(x) , dx = de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 quando m = n e 0 caso contrário. Isso simplifica nossa soma dupla para uma soma única:
integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) , dx = sumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t)

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral-infty^infty Psi^*(x, t) Psi(x, t) , dx = sumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t)

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