Considere o problema quântico de uma partícula de massa
em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição
. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial
atuando em funções da variável
.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais
do operador
. Denotando os autovalores reais de
por
, teremos
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Considerando a função de onda do item (A) mostre que
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
Considerando a função de onda do item (A) mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula quântica numa dimensão, com uma função de onda
que descreve seu estado. A questão fala sobre um operador
com autofunções
e autovalores
. O que precisamos mostrar é que a integral da densidade de probabilidade
ao longo de todo o espaço é igual à soma dos produtos dos coeficientes
com seus complexos conjugados
. Para isso, vamos usar conceitos de expansão em bases ortonormais e propriedades de operadores lineares na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de onda
como uma combinação linear das autofunções
. Isso é possível porque as
formam uma base ortonormal para o espaço das funções de onda. Então, temos:
Aqui,
são os coeficientes que dizem quanto cada autofunção contribui para a função de onda total.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto da função de onda com seu conjugado complexo:
Expandindo essa multiplicação, ficamos com uma soma dupla:
Passo 4
Queremos integrar isso sobre todo o espaço, ou seja, de
a
:
Aqui, usamos a propriedade de ortonormalidade das autofunções, que nos diz que:
Onde
é o delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário. Isso simplifica nossa soma dupla para uma soma única:
Resposta
Portanto, mostramos que: