Considere o problema quântico de uma partícula de massa m em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição x. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial O atuando em funções da variável x.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável x ) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais psin(x) do operador O. Denotando os autovalores reais de O por lambdan, teremos
O psin(x)=lambdan psin(x), n=1,2, ldots, infty
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Na interpretação probabilistica da função de onda, a probabilidade pn de obter o valor lambdan, ao medir a grandeza física (definida pelo operador O ) no istante de tempo t, é dada por
pn=Cn^*(t) Cn(t)summ=1^infty Cm^*(t) Cm(t)
Mostre que a média dos valores medidos no instante t será dada por
lang<=Orang<=t=integral-infty^infty barPsi^*(x, t) O barPsi(x, t) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica quântica que fala sobre uma partícula se movendo numa dimensão, tipo um fio, e queremos entender como calcular a média dos valores que medimos para uma certa grandeza física representada por um operador O. Para resolver isso, vamos lembrar de conceitos como operadores, funções de onda, autovalores e a interpretação probabilística da mecânica quântica. Precisaremos usar propriedades dos operadores, funções de onda e como calcular médias usando probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é esse operador O. Na mecânica quântica, operadores correspondem a grandezas físicas como posição, momento, energia, etc. As funções psin(x) são chamadas de autofunções ou autovalores do operador O, ou seja, quando aplicamos O em psin(x), obtemos o mesmo estado multiplicado por um número lambdan, que é o autovalor correspondente.
A equação dada é:
O psin(x) = lambdan psin(x)
Isso significa que psin(x) são estados próprios do operador O com valores próprios lambdan.

Passo 3

Agora, na interpretação probabilística, quando fazemos uma medida da grandeza física associada a O no estado Psi(x, t), a probabilidade de obter o valor lambdan é dada por:
pn = Cn^*(t) Cn(t)summ=1^infty Cm^*(t) Cm(t)
Aqui, Cn(t) são os coeficientes de expansão do estado Psi(x, t) na base das autofunções psin(x).

Passo 4

Queremos encontrar a média (ou valor esperado) de O no instante t, que é dado por:
lang<=Orang<=t = sumn=1^infty pn lambdan
Isso significa que multiplicamos cada valor possível lambdan pela sua probabilidade pn e somamos tudo.

Passo 5

Vamos agora relacionar isso com a expressão integral que queremos provar:
lang<=Orang<=t = integral-infty^infty Psi^*(x, t) O Psi(x, t) dx
Aqui, Psi(x, t) é a função de onda completa do sistema no tempo t. A integral representa o valor esperado de O calculado diretamente na representação de posição.

Passo 6

Para mostrar que as duas expressões são equivalentes, vamos expandir Psi(x, t) na base das autofunções:
Psi(x, t) = sumn=1^infty Cn(t) psin(x)
E a função conjugada Psi^*(x, t) será:
Psi^*(x, t) = summ=1^infty Cm^*(t) psim^*(x)

Passo 7

Substituindo essas expansões na integral, temos:
lang<=Orang<=t = integral-infty^infty ( summ=1^infty Cm^*(t) psim^*(x) ) O ( sumn=1^infty Cn(t) psin(x) ) dx

Passo 8

Aplicando o operador O na soma, e usando a relação O psin(x) = lambdan psin(x), obtemos:
lang<=Orang<=t = summ=1^infty sumn=1^infty Cm^*(t) Cn(t) lambdan integral-infty^infty psim^*(x) psin(x) dx

Passo 9

Como as psin(x) são funções ortonormais, a integral integral psim^*(x) psin(x) dx é igual a 0 se m neq n e 1 se m = n. Então, todas as parcelas onde m neq n desaparecem, restando apenas:
lang<=Orang<=t = sumn=1^infty Cn^*(t) Cn(t) lambdan

Passo 10

Lembrando que pn = Cn^*(t) Cn(t)summ=1^infty Cm^*(t) Cm(t), podemos escrever:
lang<=Orang<=t = sumn=1^infty pn lambdan
Multiplicando e dividindo por a soma no denominador, confirmamos que a média calculada pela integral é a mesma que a soma das probabilidades vezes os valores próprios.

Resposta

Assim, mostramos que a média dos valores medidos da grandeza física O no instante t é dada por:
lang<=Orang<=t = integral-infty^infty Psi^*(x, t) O Psi(x, t) dx

Exercícios relacionados