Considere o problema quântico de uma partícula de massa
em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição
. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial
atuando em funções da variável
.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais
do operador
. Denotando os autovalores reais de
por
, teremos
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Na interpretação probabilistica da função de onda, a probabilidade
de obter o valor
, ao medir a grandeza física (definida pelo operador
) no istante de tempo
, é dada por
Mostre que a média dos valores medidos no instante
será dada por
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
Na interpretação probabilistica da função de onda, a probabilidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica quântica que fala sobre uma partícula se movendo numa dimensão, tipo um fio, e queremos entender como calcular a média dos valores que medimos para uma certa grandeza física representada por um operador
. Para resolver isso, vamos lembrar de conceitos como operadores, funções de onda, autovalores e a interpretação probabilística da mecânica quântica. Precisaremos usar propriedades dos operadores, funções de onda e como calcular médias usando probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esse operador
. Na mecânica quântica, operadores correspondem a grandezas físicas como posição, momento, energia, etc. As funções
são chamadas de autofunções ou autovalores do operador
, ou seja, quando aplicamos
em
, obtemos o mesmo estado multiplicado por um número
, que é o autovalor correspondente.
A equação dada é:
Isso significa que
são estados próprios do operador
com valores próprios
.
Passo 3
Agora, na interpretação probabilística, quando fazemos uma medida da grandeza física associada a
no estado
, a probabilidade de obter o valor
é dada por:
Aqui,
são os coeficientes de expansão do estado
na base das autofunções
.
Passo 4
Queremos encontrar a média (ou valor esperado) de
no instante
, que é dado por:
Isso significa que multiplicamos cada valor possível
pela sua probabilidade
e somamos tudo.
Passo 5
Vamos agora relacionar isso com a expressão integral que queremos provar:
Aqui,
é a função de onda completa do sistema no tempo
. A integral representa o valor esperado de
calculado diretamente na representação de posição.
Passo 6
Para mostrar que as duas expressões são equivalentes, vamos expandir
na base das autofunções:
E a função conjugada
será:
Passo 7
Substituindo essas expansões na integral, temos:
Passo 8
Aplicando o operador
na soma, e usando a relação
, obtemos:
Passo 9
Como as
são funções ortonormais, a integral
é igual a 0 se
e 1 se
. Então, todas as parcelas onde
desaparecem, restando apenas:
Passo 10
Lembrando que
, podemos escrever:
Multiplicando e dividindo por a soma no denominador, confirmamos que a média calculada pela integral é a mesma que a soma das probabilidades vezes os valores próprios.
Resposta
Assim, mostramos que a média dos valores medidos da grandeza física
no instante
é dada por: