Considere o problema quântico de uma partícula de massa
em movimento unidimensional descrito por uma coordendada de posição
. Considere uma grandeza física definida por um operador diferencial
atuando em funções da variável
.
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
) constituida por um conjunto enumerável de autofunções ortonormais
do operador
. Denotando os autovalores reais de
por
, teremos
Com base nestas considerações responda aos itens (A) até (D) a seguir.
Mostre que a função de onda da partícula num certo instante de tempo
pode ser escrita como
Considere tambem, uma base (do espaço de funções de quadrado integrável da variável
Mostre que a função de onda da partícula num certo instante de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de mecânica quântica envolvendo uma partícula que se move em uma dimensão, descrita pela posição $ x $. A grandeza física que estamos considerando é definida por um operador diferencial $ \hat{O} $. Além disso, temos um conjunto de autofunções ortonormais $ \psi_n(x) $ que formam uma base para o espaço das funções de quadrado integrável de $ x $, e cada uma delas está associada a um autovalor real $ \lambda_n $ através da equação $ \hat{O} \psi_n(x) = \lambda_n \psi_n(x) $.
Nosso objetivo aqui é mostrar que a função de onda $ \Psi(x, t) $ da partícula em um instante de tempo $ t $ pode ser expressa como uma soma infinita dessas autofunções, cada uma multiplicada por um coeficiente $ C_n(t) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de onda podem ser decompostas em termos de uma base de autofunções e como calcular os coeficientes dessa decompostura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função de onda $ \Psi(x, t) $ que pertença ao espaço das funções de quadrado integrável pode ser expressa como uma combinação linear das autofunções $ \psi_n(x) $. Isso ocorre porque essas autofunções formam uma base completa para esse espaço, ou seja, qualquer função pode ser representada dessa forma.
Matematicamente, isso significa que podemos escrever:
Aqui, $ C_n(t) $ são os coeficientes que ponderam cada autofunção na soma. Nossa missão é encontrar uma expressão para esses coeficientes.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes $ C_n(t) $, utilizamos a propriedade de ortonormalidade das autofunções $ \psi_n(x) $. A ortonormalidade significa que:
onde $ \delta_{mn} $ é o delta de Kronecker, que é 1 quando $ m = n $ e 0 caso contrário. Essa propriedade é fundamental porque nos permite “isolar” cada coeficiente $ C_n(t) $.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da expressão para $ \Psi(x, t) $ pela autofunção conjugada $ \psi_m^*(x) $ e integramos sobre todo o espaço:
Trocar a soma e a integral (o que é válido sob certas condições de convergência) nos dá:
Passo 5
Utilizando a ortonormalidade das autofunções, sabemos que:
Portanto, a equação fica:
Isso significa que cada coeficiente $ C_m(t) $ pode ser encontrado integrando o produto da função de onda $ \Psi(x, t) $ com a autofunção conjugada $ \psi_m^*(x) $.
Passo 6
Finalizando, substituindo $ m $ por $ n $ na expressão geral, temos:
Assim, mostramos que a função de onda $ \Psi(x, t) $ pode ser escrita como uma soma das autofunções $ \psi_n(x) $ multiplicadas pelos coeficientes $ C_n(t) $, que são obtidos através dessa integral.
Resposta
Portanto, a função de onda da partícula em um instante de tempo $ t $ pode ser expressa como
onde os coeficientes são dados por