Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} u^{\prime \prime}+\gamma u^{\prime}+u=0 \\\ u(0)=2, u^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
com 0<\gamma<2 (veja que 2 é o valor de amortecimento crítico deste sistema).
(a) Encontre R, \mu e \delta de maneira que a solução deste problema possa ser escrita na forma
u(t)=R e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos (\mu t-\delta)
(b) Encontre \tau (que depende de \gamma ) tal que |u(t)|<0,01 para todo t>\tau.
(c) O que ocorre com a função \tau(\gamma) quando \gamma \rightarrow 0^{+}(isto é, quando o amortecimento fica praticamente nulo)?
(d) Plote o gráfico de \tau versus \gamma, para 0<\gamma<2. Veja que existe um valor \gamma_{0} para o qual a função (0,2) \ni \gamma \mapsto \tau(\gamma) é estritamente decrescente em ( 0, \gamma_{0} ) e estritamente crescente em ( \gamma_{0}, 2 ). Dê um valor numérico aproximado para \gamma_{0}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} u''+\gamma u'+u=0,\\[4pt] u(0)=2,\quad u'(0)=0, \end{cases}
com 0<\gamma<2. Asks:
(a) escrever a solução na forma \displaystyle u(t)=R e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\mu t-\delta) e encontrar R,\mu,\delta;
(b) achar \tau(\gamma) tal que |u(t)|<0{,}01 para todo t>\tau;
(c) estudar o que acontece com \tau(\gamma) quando \gamma\to0^+;
(d) traçar/estudar o gráfico \tau versus \gamma em (0,2) e encontrar numericamente \gamma_0 onde \tau tem mínimo (valor aproximado de \gamma_0).
Informações relevantes dadas:
  • Equação linear homogênea com coeficientes constantes e amortecimento \gamma.
  • Intervalo de interesse para \gamma: 0<\gamma<2 (caso subamortecido).
  • Valor alvo para a desigualdade de (b): 0{,}01.]

Passo 2

Encontrar a solução geral (aula rápida sobre o método): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, supõe-se solução da forma e^{rt}. O polinômio característico é
r^2+\gamma r+1=0.
Suas raízes são
r=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4}}{2}.
Como 0<\gamma<2 temos \gamma^2-4<0, raízes complexas conjugadas. Escreve-se
r=-\frac{\gamma}{2}\pm i\mu,
onde \mu>0 é a parte imaginária dada por
\mu=\frac{\sqrt{4-\gamma^2}}{2}=\sqrt{1-\frac{\gamma^2}{4}}.
Logo a solução geral (forma real) é
u(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\bigl(A\cos(\mu t)+B\sin(\mu t)\bigr),
com constantes reais A,B a determinar pelos dados iniciais.

Passo 3

Converter para forma amplitude-fase (aula sobre transformação):
uma combinação A\cos(\mu t)+B\sin(\mu t) pode ser escrita como
R\cos(\mu t-\delta),
onde R\ge0 e \delta satisfazem
R\cos\delta=A,\qquad R\sin\delta=B.
Então
R=\sqrt{A^2+B^2},\qquad \tan\delta=\frac{B}{A},
com \delta escolhido no quadrante correto conforme sinais de A,B.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar A e B (mostrando cada passo).
Usando u(0)=2:
u(0)=e^{0}(A\cdot1+B\cdot0)=A=2.
Então A=2.
Para u'(t) calculemos a derivada (mostrar como derivar produto/exponencial):
u(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\bigl(A\cos(\mu t)+B\sin(\mu t)\bigr).
Derivando,
u'(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\Bigl(-\frac{\gamma}{2}(A\cos\mu t+B\sin\mu t)-A\mu\sin\mu t+B\mu\cos\mu t\Bigr).
Avaliar em t=0 e usar u'(0)=0:
0=u'(0)=-\frac{\gamma}{2}(A)+B\mu.
Como A=2, isso dá
0=-\frac{\gamma}{2}\cdot 2 + B\mu \quad\Rightarrow\quad B\mu=\gamma \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\gamma}{\mu}.
Agora calcule R e \delta. Primeiro
R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{4+\frac{\gamma^2}{\mu^2}}.
Simplificação engenhosa (mostrar passo a passo): note que \mu^2=1-\gamma^2/4, então
4+\frac{\gamma^2}{\mu^2}=\frac{4\mu^2+\gamma^2}{\mu^2}=\frac{4(1-\gamma^2/4)+\gamma^2}{\mu^2}=\frac{4-\gamma^2+\gamma^2}{\mu^2}=\frac{4}{\mu^2}.
Portanto
R=\sqrt{\frac{4}{\mu^2}}=\frac{2}{\mu}.
Agora \delta: usando R\cos\delta=A=2 e R\sin\delta=B=\gamma/\mu,
\cos\delta=\frac{A}{R}=\frac{2}{2/\mu}=\mu,\qquad \sin\delta=\frac{B}{R}=\frac{\gamma/\mu}{2/\mu}=\frac{\gamma}{2}.
Logo uma expressão prática é
\delta=\arctan\!\left(\frac{\sin\delta}{\cos\delta}\right)=\arctan\!\left(\frac{\gamma/2}{\mu}\right)=\arctan\!\left(\frac{\gamma}{2\mu}\right).
(Escolher \delta no primeiro quadrante porque \mu>0 e \gamma>0, então \cos\delta>0,\sin\delta>0.)

Passo 5

Resposta do item (a) (resumo):
\mu=\sqrt{1-\frac{\gamma^2}{4}},\qquad R=\frac{2}{\mu},\qquad \delta=\arctan\!\left(\frac{\gamma}{2\mu}\right),
e portanto a solução pode ser escrita como
\boxed{\,u(t)=\dfrac{2}{\mu}\,e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\mu t-\delta)\,}
com \mu,\delta acima.

Passo 6

Item (b): achar \tau(\gamma) tal que |u(t)|<0{,}01 para todo t>\tau.
Raciocínio (aula sobre envelope e desigualdade):
  • A amplitude oscilante é R e^{-\frac{\gamma}{2}t} porque |\cos(\cdot)|\le1.
  • Para garantir |u(t)|<0{,}01 para todos t>\tau é suficiente (e necessário, pois em instantes oscilatórios o cosseno pode atingir \pm1) exigir
R e^{-\frac{\gamma}{2}t}<0{,}01\quad\text{para todo }t>\tau.
Resolver a igualdade limite para obter o menor \tau:
R e^{-\frac{\gamma}{2}\tau}=0{,}01
e^{-\frac{\gamma}{2}\tau}=\frac{0{,}01}{R}
-\frac{\gamma}{2}\tau=\ln\!\left(\frac{0{,}01}{R}\right)
\tau=\frac{2}{\gamma}\ln\!\left(\frac{R}{0{,}01}\right).
Substituindo R=2/\mu,
\tau(\gamma)=\frac{2}{\gamma}\ln\!\left(\frac{2/\mu}{0{,}01}\right) =\frac{2}{\gamma}\ln\!\left(\frac{200}{\mu}\right).
Usando \mu=\sqrt{1-\gamma^2/4} pode-se escrever também
\boxed{\,\tau(\gamma)=\dfrac{2}{\gamma}\,\ln\!\left(\dfrac{200}{\sqrt{1-\gamma^2/4}}\right)\,.}
Isto é o menor tempo \tau que garante |u(t)|<0{,}01 para todo t>\tau.

Passo 7

Item (c): comportamento quando \gamma\to0^+.
Análise:
  • Quando \gamma\to0^+ temos \mu\to1 e R=2/\mu\to2.
  • Então \tau(\gamma)\approx\frac{2}{\gamma}\ln\!\bigl(\frac{200}{1}\bigr)=\frac{2\ln 200}{\gamma}.
  • Como \gamma\to0^+ o fator 1/\gamma\to+\infty, portanto
\boxed{\,\tau(\gamma)\to+\infty\quad\text{quando }\gamma\to0^+.}
Interpretação física curta: com amortecimento quase nulo a amplitude decai muito lentamente (praticamente não decai), logo é preciso tempo muito grande para ter |u(t)|<0{,}01.

Passo 8

Item (d): estudar \tau(\gamma) em (0,2), mostrar que existe \gamma_0 com comportamento decrescente em (0,\gamma_0) e crescente em (\gamma_0,2), e achar \gamma_0 numericamente.
Primeiro escrevemos \tau(\gamma)=\dfrac{2}{\gamma}\ln\!\bigl(200/\mu\bigr) com \mu=\sqrt{1-\gamma^2/4}. Para achar extremos, derivamos (mostrando os passos essenciais):
Calcular \tau'(\gamma)=0 leva, após manipulações (verificando derivadas de \mu e de \ln\mu), à condição transcendental
\ln\!\left(\frac{200}{\mu}\right)=\frac{\gamma^2}{4-\gamma^2}.
Substituindo \mu=\sqrt{1-\gamma^2/4} obtemos a equação para \gamma\in(0,2)
\ln\!\left(\frac{200}{\sqrt{1-\gamma^2/4}}\right)=\frac{\gamma^2}{4-\gamma^2}.
Isto não tem solução elementar; resolve-se numericamente. Faço uma busca numérica rápida (avaliando \!F(\gamma)= lado esquerdo - lado direito e achando o zero):
  • Em \gamma=0{,}5: F>0.
  • Em \gamma=1{,}5: F>0.
  • Em \gamma=1{,}8: F>0.
  • Em \gamma=1{,}88: F<0.
Refinando a busca entre 1{,}85 e 1{,}86 encontra-se a raiz aproximada
\boxed{\,\gamma_0\approx 1{,}858\,.}
(Procedimento numérico: bissecção/interpolação usando a equação acima; valor aproximado com três algarismos significativos.)
Para ver o comportamento e o mínimo aproximado de \tau, alguns valores numéricos (ilustrativos):
  • \gamma=0{,}1: \tau\approx 106 (grande),
  • \gamma=0{,}5: \tau\approx 21{,}3,
  • \gamma=1{,}0: \tau\approx 10{,}9,
  • \gamma=1{,}5: \tau\approx 7{,}62,
  • \gamma=\gamma_0\approx1{,}858: \tau\approx 6{,}77 (mínimo aproximado),
  • \gamma=1{,}9: \tau\approx 6{,}80,
  • \gamma\to2^-: \tau\to+\infty (porque \mu\to0 e \ln(1/\mu)\to\infty).
Portanto o gráfico de \tau(\gamma) em (0,2) tem comportamento: muito grande em \gamma próximo de 0, decresce até um mínimo em \gamma_0\approx1{,}858, depois cresce novamente e diverge quando \gamma\to2^-. Esse é o formato pedido (U assimétrica com crescimento às duas pontas).

Resposta

(a) \displaystyle R=\frac{2}{\mu},\qquad \mu=\sqrt{1-\frac{\gamma^2}{4}},\qquad \delta=\arctan\!\left(\frac{\gamma}{2\mu}\right).
(b) \displaystyle \tau(\gamma)=\frac{2}{\gamma}\ln\!\left(\frac{200}{\sqrt{1-\gamma^2/4}}\right).
(c) \displaystyle \tau(\gamma)\to+\infty\quad\text{quando }\gamma\to0^+.
(d) \displaystyle \gamma_0\approx 1{,}858 (valor aproximado onde \tau(\gamma) atinge o mínimo).

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