Considere o problema de valor inicial
com
(veja que 2 é o valor de amortecimento crítico deste sistema).
(a) Encontre
e
de maneira que a solução deste problema possa ser escrita na forma
(b) Encontre
(que depende de
) tal que
para todo
.
(c) O que ocorre com a função
quando
(isto é, quando o amortecimento fica praticamente nulo)?
(d) Plote o gráfico de
versus
, para
. Veja que existe um valor
para o qual a função
é estritamente decrescente em (
) e estritamente crescente em (
). Dê um valor numérico aproximado para
.
(a) Encontre
(c) O que ocorre com a função
(d) Plote o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com
. Asks:
(a) escrever a solução na forma e encontrar
;
(b) achar tal que
para todo
;
(c) estudar o que acontece com quando
;
(d) traçar/estudar o gráfico versus
em
e encontrar numericamente
onde
tem mínimo (valor aproximado de
).
(a) escrever a solução na forma
(b) achar
(c) estudar o que acontece com
(d) traçar/estudar o gráfico
Informações relevantes dadas:
- Equação linear homogênea com coeficientes constantes e amortecimento
. - Intervalo de interesse para
: (caso subamortecido). - Valor alvo para a desigualdade de (b):
.]
Passo 2
Encontrar a solução geral (aula rápida sobre o método): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, supõe-se solução da forma
. O polinômio característico é
Suas raízes são
Como
temos
, raízes complexas conjugadas. Escreve-se
onde
é a parte imaginária dada por
Logo a solução geral (forma real) é
com constantes reais
a determinar pelos dados iniciais.
Passo 3
Converter para forma amplitude-fase (aula sobre transformação):
uma combinação pode ser escrita como
uma combinação
onde
e
satisfazem
Então
com
escolhido no quadrante correto conforme sinais de
.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para achar
e
(mostrando cada passo).
Usando
:
Então
.
Para
calculemos a derivada (mostrar como derivar produto/exponencial):
Derivando,
Avaliar em
e usar
:
Como
, isso dá
Agora calcule
e
. Primeiro
Simplificação engenhosa (mostrar passo a passo): note que
, então
Portanto
Agora
: usando
e
,
Logo uma expressão prática é
(Escolher
no primeiro quadrante porque
e
, então
.)
Passo 5
Resposta do item (a) (resumo):
e portanto a solução pode ser escrita como
com
acima.
Passo 6
Item (b): achar
tal que
para todo
.
Raciocínio (aula sobre envelope e desigualdade):
- A amplitude oscilante é
porque . - Para garantir
para todos é suficiente (e necessário, pois em instantes oscilatórios o cosseno pode atingir ) exigir
Resolver a igualdade limite para obter o menor
:
Substituindo
,
Usando
pode-se escrever também
Isto é o menor tempo
que garante
para todo
.
Passo 7
Item (c): comportamento quando
.
Análise:
- Quando
temos e . - Então
. - Como
o fator , portanto
Interpretação física curta: com amortecimento quase nulo a amplitude decai muito lentamente (praticamente não decai), logo é preciso tempo muito grande para ter
.
Passo 8
Item (d): estudar
em
, mostrar que existe
com comportamento decrescente em
e crescente em
, e achar
numericamente.
Primeiro escrevemos
com
. Para achar extremos, derivamos (mostrando os passos essenciais):
Calcular
leva, após manipulações (verificando derivadas de
e de
), à condição transcendental
Substituindo
obtemos a equação para
Isto não tem solução elementar; resolve-se numericamente. Faço uma busca numérica rápida (avaliando
lado esquerdo
lado direito e achando o zero):
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Refinando a busca entre
e
encontra-se a raiz aproximada
(Procedimento numérico: bissecção/interpolação usando a equação acima; valor aproximado com três algarismos significativos.)
Para ver o comportamento e o mínimo aproximado de
, alguns valores numéricos (ilustrativos):
-
: (grande), -
: , -
: , -
: , -
: (mínimo aproximado), -
: , -
: (porque e ).
Portanto o gráfico de
em
tem comportamento: muito grande em
próximo de
, decresce até um mínimo em
, depois cresce novamente e diverge quando
. Esse é o formato pedido (U assimétrica com crescimento às duas pontas).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(valor aproximado onde
atinge o mínimo).