Um objeto de massa 2 kg desloca uma mola em 9,8 \mathrm{~cm}. Se a massa é puxada para baixo mais 3 cm e então solta, e se não há amortecimento, determine a posição u(t)(\mathrm{em} \mathrm{cm}) do objeto em qualquer instante de tempo. Plote o gráfico de u por t. Encontre a frequência angular, o período, e a amplitude do movimento.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Massa: m=2\\ \mathrm{kg}.
    • A massa, sob o peso mg, desloca a mola de 9,8\\ \mathrm{cm}.
    • A massa é então puxada para baixo mais 3\\ \mathrm{cm} (além do deslocamento devido ao peso) e libertada a partir do repouso.
    • Não há amortecimento.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a posição u(t) em qualquer instante de tempo, expressa em centímetros.
    2. Plotar o gráfico de u em função de t.
    3. Encontrar a frequência angular, o período e a amplitude do movimento.
Observação sobre coordenadas (importante): vou medir u(t) a partir da posição de equilíbrio estático (onde mg é balanceado pela força da mola). Adoto sentido para baixo como positivo (assim puxar para baixo corresponde a u>0). A solução será dada em centímetros e o tempo em segundos.

Passo 2

Ensinando o fundamento físico: como achar a constante elástica k da mola a partir do deslocamento causado pelo peso.
  • Hooke + equilíbrio estático: na posição de equilíbrio estático a força da mola para cima é igual ao peso para baixo, ou seja
k x_{\text{eq}} = m g,
onde x_{\text{eq}} é o alongamento em metros causado pelo peso, m é a massa e g a aceleração da gravidade.
  • Converter unidades e calcular k:
    • x_{\text{eq}} = 9,8\\ \mathrm{cm} = 0,098\\ \mathrm{m}.
    • g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Portanto
    k = \dfrac{m g}{x_{\text{eq}}} = \dfrac{2\cdot 9,8}{0,098}.
    • Calculemos: 2\cdot 9,8 = 19,6 e 19,6/0,098 = 200. Logo
    k = 200\\ \mathrm{N/m}.
Comentário curto e amigável: ou seja, a mola é “forte” o bastante para ter constante 200\\ \mathrm{N/m}. Bom, com k em mãos vamos para a equação do movimento.

Passo 3

Montando a equação do movimento e explicando o modelo matemático.
  • Para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio (e sem amortecimento) a equação de movimento (segunda lei de Newton + força elástica linear) é
m \, u''(t) + k \, u(t) = 0,
onde:
  • u(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positiva para baixo),
  • u''(t) é a aceleração,
  • m e k são como antes.
  • Esta é uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes, com solução típica de movimento harmónico simples (MHS). A frequência angular natural \omega vem de
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Substituindo os valores:
\omega = \sqrt{\dfrac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{rad/s}.
Pequeno reforço didático: \omega tem unidades \mathrm{rad/s} e determina quão rápido a massa oscila; quanto maior \omega, mais rápidas as oscilações.

Passo 4

Forma geral da solução e aplicação das condições iniciais.
  • A solução geral da equação m u''+k u=0 é
u(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais, e \omega é a frequência angular encontrada no passo anterior.
  • Condições iniciais do problema (pegadas do enunciado):
    • A massa é puxada para baixo mais 3\\ \mathrm{cm} além da posição de equilíbrio e solta do repouso. Medindo a partir do equilíbrio:
      • u(0)=3\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}.
      • u'(0)=0 (porque é solta do repouso).
  • Aplicando t=0 na solução geral:
u(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Portanto C_1 = 0,03\\ \mathrm{m}.
  • Derivando u(t):
u'(t) = -C_1 \omega \sin(\omega t) + C_2 \omega \cos(\omega t).
Aplicando t=0:
u'(0) = -C_1\omega\cdot 0 + C_2\omega\cdot 1 = C_2\omega.
Como u'(0)=0, temos C_2\omega = 0 e, com \omega\neq 0, obtemos C_2=0.
  • Logo a solução reduz-se a
u(t) = 0,03\cos(\omega t)\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Expressar u(t) em centímetros (pedido explícito) e destacar amplitude.
  • Em centímetros: multiplicando por 100,
u(t) = 3\cos(10 t)\\ \text{cm},
onde t está em segundos.
  • Interpretação física: a amplitude A do movimento é o valor absoluto do coeficiente da função cosseno:
A = 3\\ \mathrm{cm}.
Comentário amigável: faz sentido — como foi puxada 3\\ \mathrm{cm} além do equilíbrio e solta do repouso, a amplitude da oscilação é exatamente 3\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular o período e (opcionalmente) a frequência em Hz; explicar como obter o período.
  • Fórmula do período T para oscilações harmónicas:
T = \dfrac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=10\\ \mathrm{rad/s},
T = \dfrac{2\pi}{10} = \dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}.
Valor numérico aproximado:
T \approx 0,628\\ \mathrm{s}.
  • (Opcional útil) Frequência em hertz:
f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{10}{2\pi} = \dfrac{5}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 1,5915\\ \mathrm{Hz}.
Breve incentivo: com \omega, T e A na mão, já sabemos quase tudo sobre o movimento.

Passo 7

Instruções e pontos para plotar o gráfico de u versus t à mão ou em computador, e pontos importantes para desenhar uma curva precisa.
  • Natureza do gráfico: é um cosseno com amplitude 3 cm, frequência angular 10\\ \mathrm{rad/s}. Começa em u(0)=3 cm (máximo) e oscila entre +3 cm e -3 cm com período T=\pi/5\\ \mathrm{s}.
  • Pontos-chave (fáceis de usar para esboçar um período):
    • t=0: u(0)=3\\ \text{cm}.
    • t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{20}\\ \mathrm{s}: u\bigl(\tfrac{T}{4}\bigr)=3\cos\bigl(10\cdot \tfrac{\pi}{20}\bigr)=3\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0\\ \text{cm}.
    • t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{10}\\ \mathrm{s}: u\bigl(\tfrac{T}{2}\bigr)=3\cos(\pi)=-3\\ \text{cm}.
    • t=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi}{20}\\ \mathrm{s}: u\bigl(\tfrac{3T}{4}\bigr)=0\\ \text{cm}.
    • t=T=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}: u(T)=3\\ \text{cm} (retorna ao máximo).
  • Se usar software (Python/matplotlib, GeoGebra, etc.), plote a função
u(t)=3\cos(10 t)
para t de 0 a, por exemplo, 2T para ver duas oscilações. Eixo vertical em cm, eixo horizontal em s.
Dica motivadora: não precisa de plotar perfeitamente à mão; com esses pontos-chave já sai um gráfico bonitinho e confiável.

Resposta

u(t)=3\cos(10 t)\\ \text{cm}
\omega=10\\ \mathrm{rad/s}
T=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}\approx 0,628\\ \mathrm{s}
A=3\\ \mathrm{cm}

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