Um objeto de massa 2 kg desloca uma mola em
. Se a massa é puxada para baixo mais 3 cm e então solta, e se não há amortecimento, determine a posição
do objeto em qualquer instante de tempo. Plote o gráfico de
por
. Encontre a frequência angular, o período, e a amplitude do movimento.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Massa:
. - A massa, sob o peso
, desloca a mola de . - A massa é então puxada para baixo mais
(além do deslocamento devido ao peso) e libertada a partir do repouso. - Não há amortecimento.
- Massa:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a posição
em qualquer instante de tempo, expressa em centímetros. - Plotar o gráfico de
em função de . - Encontrar a frequência angular, o período e a amplitude do movimento.
- Determinar a posição
Observação sobre coordenadas (importante): vou medir
a partir da posição de equilíbrio estático (onde
é balanceado pela força da mola). Adoto sentido para baixo como positivo (assim puxar para baixo corresponde a
). A solução será dada em centímetros e o tempo em segundos.
Passo 2
Ensinando o fundamento físico: como achar a constante elástica
da mola a partir do deslocamento causado pelo peso.
- Hooke + equilíbrio estático: na posição de equilíbrio estático a força da mola para cima é igual ao peso para baixo, ou seja
onde
é o alongamento em metros causado pelo peso,
é a massa e
a aceleração da gravidade.
- Converter unidades e calcular
: -
. -
. - Portanto
- Calculemos:
e . Logo
-
Comentário curto e amigável: ou seja, a mola é “forte” o bastante para ter constante
. Bom, com
em mãos vamos para a equação do movimento.
Passo 3
Montando a equação do movimento e explicando o modelo matemático.
- Para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio (e sem amortecimento) a equação de movimento (segunda lei de Newton + força elástica linear) é
onde:
-
é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positiva para baixo), -
é a aceleração, -
e são como antes. -
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes, com solução típica de movimento harmónico simples (MHS). A frequência angular natural
vem de
- Substituindo os valores:
Pequeno reforço didático:
tem unidades
e determina quão rápido a massa oscila; quanto maior
, mais rápidas as oscilações.
Passo 4
Forma geral da solução e aplicação das condições iniciais.
- A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
é a frequência angular encontrada no passo anterior.
-
Condições iniciais do problema (pegadas do enunciado):
- A massa é puxada para baixo mais
além da posição de equilíbrio e solta do repouso. Medindo a partir do equilíbrio: -
. -
(porque é solta do repouso).
-
- A massa é puxada para baixo mais
-
Aplicando
na solução geral:
Portanto
.
- Derivando
:
Aplicando
:
Como
, temos
e, com
, obtemos
.
- Logo a solução reduz-se a
Passo 5
Expressar
em centímetros (pedido explícito) e destacar amplitude.
- Em centímetros: multiplicando por
,
onde
está em segundos.
- Interpretação física: a amplitude
do movimento é o valor absoluto do coeficiente da função cosseno:
Comentário amigável: faz sentido — como foi puxada
além do equilíbrio e solta do repouso, a amplitude da oscilação é exatamente
.
Passo 6
Calcular o período e (opcionalmente) a frequência em Hz; explicar como obter o período.
- Fórmula do período
para oscilações harmónicas:
Substituindo
,
Valor numérico aproximado:
- (Opcional útil) Frequência em hertz:
Breve incentivo: com
,
e
na mão, já sabemos quase tudo sobre o movimento.
Passo 7
Instruções e pontos para plotar o gráfico de
versus
à mão ou em computador, e pontos importantes para desenhar uma curva precisa.
-
Natureza do gráfico: é um cosseno com amplitude
cm, frequência angular . Começa em cm (máximo) e oscila entre cm e cm com período . -
Pontos-chave (fáceis de usar para esboçar um período):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: (retorna ao máximo).
-
-
Se usar software (Python/matplotlib, GeoGebra, etc.), plote a função
para
de
a, por exemplo,
para ver duas oscilações. Eixo vertical em cm, eixo horizontal em s.
Dica motivadora: não precisa de plotar perfeitamente à mão; com esses pontos-chave já sai um gráfico bonitinho e confiável.