Considere um sistema massa-mola sem amortecimento, com um objeto de massa 1 kg e uma constante da mola k=1 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}. Partindo do ponto de equilíbrio, o sistema é colocado em movimento em t=0 com uma força externa F(t)=4 \cos (5 t) \mathrm{N}.
(a) Determine a posição u(t)(\mathrm{em} \mathrm{cm}) do objeto em qualquer instante de tempo t e plote o gráfico.
(b) Determine o primeiro instante no qual o objeto volta ao ponto de equilíbrio.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Massa: m=1\\ \text{kg}.
    • Constante da mola: k=1\\ \text{N/cm}.
    • Força externa: F(t)=4\cos(5t)\\ \text{N}.
    • O sistema parte do ponto de equilíbrio em t=0 (isto significa posição inicial u(0)=0) e é “colocado em movimento” a partir desse instante — assumimos movimento iniciado a partir do repouso, então velocidade inicial u'(0)=0.
  • O que se pede:
    • (a) Determinar a posição u(t) em \text{cm} para todo t e “plotar o gráfico” (vou dar a expressão explícita e instruções simples para plotar).
    • (b) Determinar o primeiro instante t>0 em que o objeto volta ao ponto de equilíbrio (isto é, o menor t>0 tal que u(t)=0).

Passo 2

Unidades e equação do movimento. Conversão de unidades e formulação do EDO:
  • Primeiro transformar k para unidades do SI (N/m) porque m está em kg. Como 1\\ \text{cm}=0,01\\ \text{m}, k=1\\ \text{N/cm}=100\\ \text{N/m}.
  • A equação do movimento para um sistema massa-mola sem amortecimento é (pela 2ª lei de Newton) m\,u''(t)+k\,u(t)=F(t).Substituindo m=1, k=100 e F(t)=4\cos(5t) obtemos a equação em unidades do SI (onde u é em metros): u''(t)+100\,u(t)=4\cos(5t).
  • Observação: aqui as frequências estão em rad/s; a frequência natural do sistema é \omega_0=\sqrt{100}=10\\ \text{rad/s}. A força externa tem frequência \omega=5\\ \text{rad/s}. Como \omega\neq\omega_0, NÃO há ressonância.

Passo 3

Resolvendo a equação homogênea (comentar e encontrar a solução complementar):
  • A homogênea associada é u_h''+100\,u_h=0.
  • A equação característica é \lambda^2+100=0, logo \lambda=\pm 10\mathrm{i}. Portanto a solução geral da homogênea é u_h(t)=C\cos(10t)+D\sin(10t),onde C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Método dos coeficientes a determinar para a solução particular (explicação didática):
  • A força é 4\cos(5t). A técnica de coeficientes a determinar diz: tente uma solução particular da forma u_p(t)=A\cos(5t)+B\sin(5t),porque derivando duas vezes multiplica por -5^2=-25 e ao somar 100u_p teremos termos em \cos(5t) e \sin(5t) que podem igualar o lado direito.
  • Calcular u_p''(t): u_p''(t)=-25A\cos(5t)-25B\sin(5t).
  • Substituir em u''+100u=4\cos(5t): (-25A\cos(5t)-25B\sin(5t))+100(A\cos(5t)+B\sin(5t))=4\cos(5t).Agrupando coeficientes: (100-25)A\cos(5t)+(100-25)B\sin(5t)=4\cos(5t).Ou seja, 75A\cos(5t)+75B\sin(5t)=4\cos(5t).
  • Igualando termos correspondentes obtemos o sistema 75A=4,\qquad 75B=0.Logo A=\frac{4}{75},\qquad B=0.
  • Portanto a solução particular é u_p(t)=\frac{4}{75}\cos(5t).

Passo 5

Solução geral e aplicação das condições iniciais (determinando C e D):
  • A solução geral da equação forçada (em metros) é u(t)=u_h(t)+u_p(t)=C\cos(10t)+D\sin(10t)+\frac{4}{75}\cos(5t).
  • Condições iniciais (assumidas a partir do enunciado): u(0)=0 e u'(0)=0.
    • Em t=0: u(0)=C+\frac{4}{75}=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{4}{75}.
    • Derivar u(t): u'(t)=-10C\sin(10t)+10D\cos(10t)-\frac{4}{75}\cdot 5\sin(5t).Em t=0: u'(0)=10D-0-0=10D=0 \quad\Rightarrow\quad D=0.
  • Assim a solução (em metros) é u(t)=-\frac{4}{75}\cos(10t)+\frac{4}{75}\cos(5t).
  • Podemos fatorar: u(t)=\frac{4}{75}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr)\quad\text{(metros)}.

Passo 6

Converter a solução para centímetros e simplificar a expressão:
  • Para passar de metros para centímetros multiplicar por 100. Então a posição em centímetros é u_{\text{cm}}(t)=100\cdot\frac{4}{75}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr).
  • Simplificando a fração 100\cdot\frac{4}{75}=\frac{400}{75}=\frac{16}{3}. Portanto u(t)=\frac{16}{3}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr)\quad\text{(cm)}.Esta é a resposta para o item (a).

Passo 7

Comentário físico e instruções para o gráfico (como plotar e o que observar):
  • Interpretando a forma da solução: usar a identidade trigonométrica \cos(5t)-\cos(10t)=-2\sin\!\Bigl(\frac{5t+10t}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{5t-10t}{2}\Bigr) =2\sin\!\bigl(7{,}5\,t\bigr)\sin\!\bigl(2{,}5\,t\bigr).Logo u(t)=\frac{16}{3}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr)=\frac{32}{3}\sin(7{,}5\,t)\sin(2{,}5\,t).Isso mostra um comportamento tipo “batimento” (beats): um termo de alta frequência modulado por um envelope mais lento.
  • Para plotar (por exemplo em Python/matplotlib, MATLAB ou mesmo numa calculadora gráfica):
    • Use a expressão u(t)=\dfrac{16}{3}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr) com t em segundos.
    • Escolha um intervalo de t que mostre alguns ciclos e os batimentos, por exemplo t\in[0,4\pi] (aprox até 12{,}57\\ \text{s}) ou menor se preferir ver apenas o início, e amostre com passo pequeno (por ex. dt=0{,}001 0{,}01 s).
    • No eixo vertical marque centímetros; no horizontal, segundos. Vai-se notar oscilações rápidas (frequência ~10 rad/s) com amplitude variando mais lentamente (frequência do envelope ~2{,}5 rad/s).

Passo 8

Determinar o primeiro instante t>0 em que u(t)=0 (item b), passo a passo:
  • Queremos resolver u(t)=\frac{16}{3}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr)=0.Isso equivale a \cos(5t)=\cos(10t).
  • A igualdade \cos a=\cos b ocorre quando a=2\pi n\pm b para algum n\in\mathbb{Z}. Aplicando com a=10t e b=5t obtemos duas famílias de soluções:
    1. 10t=2\pi n+5t \Rightarrow 5t=2\pi n \Rightarrow t=\dfrac{2\pi n}{5}.
    2. 10t=2\pi n-5t \Rightarrow 15t=2\pi n \Rightarrow t=\dfrac{2\pi n}{15}.
  • Para n=0 temos t=0, instância inicial. Procuramos o menor t>0.
    • Na família (1), o menor t>0 é com n=1: t=\dfrac{2\pi}{5}\approx 1{,}2566\\ \text{s}.
    • Na família (2), o menor t>0 é com n=1: t=\dfrac{2\pi}{15}\approx 0{,}4189\\ \text{s}.
  • Entre esses, o menor positivo é t=\frac{2\pi}{15}\\ \text{s}\approx 0{,}4189\\ \text{s}.Verificação rápida: para esse t temos 5t=\frac{2\pi}{3} e 10t=\frac{4\pi}{3}, e de fato \cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\tfrac{1}{2}, então u(t)=0.

Resposta

u(t)=\dfrac{16}{3}\bigl(\cos(5t)-\cos(10t)\bigr)\\ \text{cm}
t_{\text{primeiro retorno}}=\dfrac{2\pi}{15}\\ \text{s}\approx 0{,}4189\\ \text{s}

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