Considere um sistema massa-mola sem amortecimento, com um objeto de massa 1 kg e uma constante da mola
. Partindo do ponto de equilíbrio, o sistema é colocado em movimento em
com uma força externa
.
(a) Determine a posição
do objeto em qualquer instante de tempo
e plote o gráfico.
(b) Determine o primeiro instante no qual o objeto volta ao ponto de equilíbrio.
(a) Determine a posição
(b) Determine o primeiro instante no qual o objeto volta ao ponto de equilíbrio.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Força externa:
. - O sistema parte do ponto de equilíbrio em
(isto significa posição inicial ) e é “colocado em movimento” a partir desse instante — assumimos movimento iniciado a partir do repouso, então velocidade inicial .
- Massa:
- O que se pede:
- (a) Determinar a posição
em para todo e “plotar o gráfico” (vou dar a expressão explícita e instruções simples para plotar). - (b) Determinar o primeiro instante
em que o objeto volta ao ponto de equilíbrio (isto é, o menor tal que ).
- (a) Determinar a posição
Passo 2
Unidades e equação do movimento. Conversão de unidades e formulação do EDO:
- Primeiro transformar
para unidades do SI (N/m) porque está em kg. Como , - A equação do movimento para um sistema massa-mola sem amortecimento é (pela 2ª lei de Newton)
Substituindo , e obtemos a equação em unidades do SI (onde é em metros): - Observação: aqui as frequências estão em rad/s; a frequência natural do sistema é
. A força externa tem frequência . Como , NÃO há ressonância.
Passo 3
Resolvendo a equação homogênea (comentar e encontrar a solução complementar):
- A homogênea associada é
- A equação característica é
, logo . Portanto a solução geral da homogênea é onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Método dos coeficientes a determinar para a solução particular (explicação didática):
- A força é
. A técnica de coeficientes a determinar diz: tente uma solução particular da forma porque derivando duas vezes multiplica por e ao somar teremos termos em e que podem igualar o lado direito. - Calcular
: - Substituir em
: Agrupando coeficientes: Ou seja, - Igualando termos correspondentes obtemos o sistema
Logo - Portanto a solução particular é
Passo 5
Solução geral e aplicação das condições iniciais (determinando
e
):
- A solução geral da equação forçada (em metros) é
- Condições iniciais (assumidas a partir do enunciado):
e . - Em
: - Derivar
: Em :
- Em
- Assim a solução (em metros) é
- Podemos fatorar:
Passo 6
Converter a solução para centímetros e simplificar a expressão:
- Para passar de metros para centímetros multiplicar por
. Então a posição em centímetros é - Simplificando a fração
. Portanto Esta é a resposta para o item (a).
Passo 7
Comentário físico e instruções para o gráfico (como plotar e o que observar):
- Interpretando a forma da solução: usar a identidade trigonométrica
Logo Isso mostra um comportamento tipo “batimento” (beats): um termo de alta frequência modulado por um envelope mais lento. - Para plotar (por exemplo em Python/matplotlib, MATLAB ou mesmo numa calculadora gráfica):
- Use a expressão
com em segundos. - Escolha um intervalo de
que mostre alguns ciclos e os batimentos, por exemplo (aprox até ) ou menor se preferir ver apenas o início, e amostre com passo pequeno (por ex. – s). - No eixo vertical marque centímetros; no horizontal, segundos. Vai-se notar oscilações rápidas (frequência ~10 rad/s) com amplitude variando mais lentamente (frequência do envelope ~2{,}5 rad/s).
- Use a expressão
Passo 8
Determinar o primeiro instante
em que
(item b), passo a passo:
- Queremos resolver
Isso equivale a - A igualdade
ocorre quando para algum . Aplicando com e obtemos duas famílias de soluções: -
. -
.
-
- Para
temos , instância inicial. Procuramos o menor . - Na família (1), o menor
é com : . - Na família (2), o menor
é com : .
- Na família (1), o menor
- Entre esses, o menor positivo é
Verificação rápida: para esse temos e , e de fato , então .