Considere o problema de valor inicial (PVI)
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x^{2}}}{y}, \quad y(0)=1
(a) (1,0 ponto) Encontre a soluçāo do PVI.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o valor de x no qual a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Foi dado o problema de valor inicial:
\frac{dy}{dx}=\frac{x e^{x^{2}}}{y},\qquad y(0)=1.
  • Perguntas:
    (a) Encontre a solução do PVI (ou seja, a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial).
    (b) Determine o valor de x no qual a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e explicar a técnica que vamos usar (aula rapidinha e prática).
  • Observação técnica útil: quando a equação pode ser escrita com todos os termos em y e dy de um lado e todos os termos em x e dx do outro, dizemos que é uma equação diferencial separável. Nesse caso podemos integrar cada lado separadamente.
  • Aqui temos
\frac{dy}{dx}=\frac{x e^{x^{2}}}{y}.
  • Podemos multiplicar ambos os lados por y\,dx para obter as variáveis separadas:
y\,dy = x e^{x^{2}}\,dx.
Isto é permitido desde que consideremos regiões onde y\neq 0; a condição inicial y(0)=1 garante que, na vizinhança de x=0, estamos em uma solução com y inicialmente não nulo.

Passo 3

Integrar ambos os lados — mostrar passo a passo como integrar cada lado.
  • Integramos em y do lado esquerdo e em x do lado direito:
\int y\,dy = \int x e^{x^{2}}\,dx.
  • Esquerda: a integral de y em relação a y é uma primitiva simples:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  • Direita: para \int x e^{x^{2}}\,dx usamos a substituição u=x^{2}. Então du=2x\,dx ou x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C_2 = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
  • Igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes em uma só C):
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante e isolar y; explicar a escolha do sinal.
  • Use a condição y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 na igualdade anterior:
\frac{1^{2}}{2} = \frac{1}{2}e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cdot 1 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Portanto a relação reduz a
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{2}e^{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad y^{2} = e^{x^{2}}.
  • Tirando a raiz quadrada, obtemos duas possibilidades formais:
y(x)=\pm e^{x^{2}/2}.
  • Para decidir o sinal, usamos a condição inicial y(0)=1. Como e^{0}=1, o ramo positivo dá y(0)=+1 enquanto o ramo negativo daria y(0)=-1. Como a condição inicial exige y(0)=1, escolhemos o sinal positivo. (Além disso, a unicidade da solução em problemas bem comportados garante que a solução que passa por (0,1) seja única.)

Passo 5

Determinar o(s) ponto(s) crítico(s) e decidir qual é mínimo — explicando a técnica (derivada, zero, teste da segunda derivada / monotonicidade).
  • Temos, portanto, a solução y(x)=e^{x^{2}/2}. Para achar extremos fazemos y'(x)=0.
  • Calcular y'(x) usando a regra da cadeia: se y(x)=e^{g(x)} então y'(x)=g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=\dfrac{x^{2}}{2} e g'(x)=x. Logo
y'(x)=x e^{x^{2}/2}.
  • Zeros de y' ocorrem quando x e^{x^{2}/2}=0. Como e^{x^{2}/2}>0 para todo x, a única solução é x=0. Então há um único ponto crítico em x=0.
  • Fazer o teste da segunda derivada para ver se é mínimo: calcule y''(x). Derivando y'(x)=x e^{x^{2}/2} pelo produto:
y''(x)=1\cdot e^{x^{2}/2} + x\cdot\big(x e^{x^{2}/2}\big) = e^{x^{2}/2} + x^{2} e^{x^{2}/2} = e^{x^{2}/2}(1+x^{2}).
  • Note que e^{x^{2}/2}(1+x^{2})>0 para todo x, em particular y''(0)=1>0. Pelo teste da segunda derivada, x=0 é um mínimo local. Além disso, observando que y'(x)<0 para x<0 e y'(x)>0 para x>0, a função decresce até 0 e cresce a partir de 0, logo x=0 é mínimo global da solução sobre \mathbb{R}.

Resposta

(a) y(x)=e^{x^{2}/2}\n
(b) x=0

Exercícios relacionados