Considere o problema de valor inicial (PVI)
(a) (1,0 ponto) Encontre a soluçāo do PVI.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o valor de
no qual a solução atinge seu valor mínimo.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o valor de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Foi dado o problema de valor inicial:
- Perguntas:
(a) Encontre a solução do PVI (ou seja, a funçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição inicial).
(b) Determine o valor deno qual a solução atinge seu valor mínimo.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e explicar a técnica que vamos usar (aula rapidinha e prática).
- Observação técnica útil: quando a equação pode ser escrita com todos os termos em
e de um lado e todos os termos em e do outro, dizemos que é uma equação diferencial separável. Nesse caso podemos integrar cada lado separadamente. - Aqui temos
- Podemos multiplicar ambos os lados por
para obter as variáveis separadas:
Isto é permitido desde que consideremos regiões onde
; a condição inicial
garante que, na vizinhança de
, estamos em uma solução com
inicialmente não nulo.
Passo 3
Integrar ambos os lados — mostrar passo a passo como integrar cada lado.
- Integramos em
do lado esquerdo e em do lado direito:
- Esquerda: a integral de
em relação a é uma primitiva simples:
onde
é constante de integração.
- Direita: para
usamos a substituição . Então ou . Assim
onde
é outra constante de integração.
- Igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes em uma só
):
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar a constante e isolar
; explicar a escolha do sinal.
- Use a condição
. Substituindo e na igualdade anterior:
- Portanto a relação reduz a
- Tirando a raiz quadrada, obtemos duas possibilidades formais:
- Para decidir o sinal, usamos a condição inicial
. Como , o ramo positivo dá enquanto o ramo negativo daria . Como a condição inicial exige , escolhemos o sinal positivo. (Além disso, a unicidade da solução em problemas bem comportados garante que a solução que passa por seja única.)
Passo 5
Determinar o(s) ponto(s) crítico(s) e decidir qual é mínimo — explicando a técnica (derivada, zero, teste da segunda derivada / monotonicidade).
- Temos, portanto, a solução
. Para achar extremos fazemos . - Calcular
usando a regra da cadeia: se então . Aqui e . Logo
- Zeros de
ocorrem quando . Como para todo , a única solução é . Então há um único ponto crítico em . - Fazer o teste da segunda derivada para ver se é mínimo: calcule
. Derivando pelo produto:
- Note que
para todo , em particular . Pelo teste da segunda derivada, é um mínimo local. Além disso, observando que para e para , a função decresce até e cresce a partir de , logo é mínimo global da solução sobre .
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)