(2,0 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI)
t y^{\prime}-y=t^{3} e^{3}, \quad y(1)=0, \quad t>0 .

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A equação diferencial e o PVI:
t\,y^{\prime}-y=t^{3}e^{3},\qquad y(1)=0,\qquad t>0.
  • O que é pedido: encontrar a solução y(t) definida para t>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que costuma ser escrita como
y^{\prime}+p(t)\,y=q(t).
Dividindo toda a equação original por t (isso é permitido porque t>0), obtemos
y^{\prime}-\frac{1}{t}y=t^{2}e^{3}.
Aqui identificamos
p(t)=-\frac{1}{t},\qquad q(t)=t^{2}e^{3}.

Passo 3

Agora a técnica padrão: fator integrante. Explico a ideia de forma prática e direta.
  • Para uma equação y^{\prime}+p(t)y=q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(t) transforma-se o lado esquerdo em derivada do produto \mu(t)y(t):
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t).
Aplicando isso ao nosso caso com p(t)=-\dfrac{1}{t}, calculamos \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(-\ln t)=t^{-1}.
(Escolhemos a constante de integração zero na exponencial porque qualquer múltiplo do fator integrante funciona; t^{-1} é o mais simples.)

Passo 4

Multiplicamos a equação padronizada por \mu(t)=t^{-1}. Assim
t^{-1}y^{\prime}-t^{-2}y = t^{-1}\cdot t^{2}e^{3}=t e^{3}.
O lado esquerdo é precisamente a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(t^{-1}y\big)=t e^{3}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t. Integrando a expressão encontrada:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{-1}y\big)\,dt = \int t e^{3}\,dt.
O lado esquerdo integra para t^{-1}y. O lado direito:
\int t e^{3}\,dt = e^{3}\int t\,dt = e^{3}\cdot\frac{t^{2}}{2} + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
t^{-1}y = \frac{e^{3}t^{2}}{2} + C.

Passo 6

Isolando y:
y(t)=t\left(\frac{e^{3}t^{2}}{2}+C\right)=\frac{e^{3}}{2}t^{3}+Ct.
Usamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C:
0=y(1)=\frac{e^{3}}{2}\cdot 1^{3}+C\cdot 1=\frac{e^{3}}{2}+C,
logo
C=-\frac{e^{3}}{2}.

Passo 7

Substituindo C na expressão geral obtemos a solução particular:
y(t)=\frac{e^{3}}{2}t^{3}-\frac{e^{3}}{2}t=\frac{e^{3}}{2}\big(t^{3}-t\big).
Uma forma fatorada útil é y(t)=\dfrac{e^{3}}{2}\,t\,(t^{2}-1). Esta função está definida para todo t>0 e satisfaz a condição inicial y(1)=0. Bom trabalho — a técnica do fator integrante é uma ferramenta padrão e confiável para equações lineares de primeira ordem!

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{e^{3}}{2}\big(t^{3}-t\big)

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