pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI)
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A equação diferencial e o PVI:
- O que é pedido: encontrar a solução
definida para que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que costuma ser escrita como
Dividindo toda a equação original por
(isso é permitido porque
), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Agora a técnica padrão: fator integrante. Explico a ideia de forma prática e direta.
- Para uma equação
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em derivada do produto :
Aplicando isso ao nosso caso com
, calculamos
:
(Escolhemos a constante de integração zero na exponencial porque qualquer múltiplo do fator integrante funciona;
é o mais simples.)
Passo 4
Multiplicamos a equação padronizada por
. Assim
O lado esquerdo é precisamente a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Integrando a expressão encontrada:
O lado esquerdo integra para
. O lado direito:
onde
é constante arbitrária. Logo
Passo 6
Isolando
:
Usamos a condição inicial
para determinar
:
logo
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular:
Uma forma fatorada útil é
. Esta função está definida para todo
e satisfaz a condição inicial
. Bom trabalho — a técnica do fator integrante é uma ferramenta padrão e confiável para equações lineares de primeira ordem!