Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime+4 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2
Encontre as coordenadas do ponto de máximo (tM, yM) em função de b. Descreva a variação de tM e de yM quando b aumenta.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI 4y’’ + 4b y’ + y = 0 com y(0)=1, y’(0)=2 e achar o tempo t_M do primeiro máximo e a altura y_M em função de b. O conteúdo é EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e amortecimento (underdamped). Vamos precisar achar as raízes do polinômio característico, determinar a solução geral, aplicar condições iniciais, passar à forma fase-amplitude e impor y’(t_M)=0.

Passo 2

Dividindo a equação por 4 obtemos y’’ + b y’ + (1/4) y = 0. O polinômio característico r^2 + b r + 1/4 = 0 tem discriminante Δ = b^2 -1 <0 (underdamped), e raízes r = -b/2 ± iω, onde
ω = raiz1 - b^22
Assim a solução geral é
y(t) = e^-b t/2l(C1cos(ωt) + C2sin(ωt)r)

Passo 3

Aplicando y(0)=1 dá C_1=1. Derivando e impondo y’(0)=2 chegamos a
C2 = 2 + b/2ω = 4 + b2ω
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y(t) = e^-b t/2l(cos(ωt) + 4+b2ω,sin(ωt)r)

Passo 4

Para achar o primeiro máximo escrevemos y em forma fase-amplitude:
y(t) = R,e^-b t/2cos(ωt - δ),
onde
R = raiz1 + l(4+b2ωr)^2, δ = arctanl(tfrac4+b2ωr)

Passo 5

A condição y’(t_M)=0 dá
$$\tan(ωt_M - δ) = -\frac{b}{2ω} = -\tan ψ,\quad ψ = \arctan\Bigl(\tfrac{b}{2ω}\Bigr).
tan(ωtM - δ) = -b2ω = -tan ψ, ψ = arctanl(tfracb2ωr) áωt_M - δ = -ψ \implies t_M = \frac{1}{ω}\Bigl[δ - ψ\Bigr] = \frac{1}{ω}\Bigl(\arctan\tfrac{4+b}{2ω} - \arctan\tfrac{b}{2ω}\Bigr).$$

Passo 6

A altura do máximo é
yM = R,e^-b tM/2 = raiz1 + l(tfrac4+b2ωr)^2;e^-b2tM

Passo 7

Quando b cresce (amortecimento maior) verificamos numericamente que ω diminui, δ e ψ se aproximam, de modo que t_M diminui. Como o fator exponencial e R também decrescem, a altura y_M decresce quando b aumenta.

Resposta

As coordenadas do primeiro máximo são
tM(b) = 1ωl(arctantfrac4+b2ω - arctantfracb2ωr), yM(b) = raiz1 + l(tfrac4+b2ωr)^2;e^-tfracb2tM,
onde
ω = raiz1 - b^22
Ao aumentar b (com 0≤b<1) tem-se tanto t_M(b) decrescente quanto y_M(b) decrescente.

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