Considere o problema de valor inicial
Encontre as coordenadas do ponto de máximo
em função de
. Descreva a variação de
e de
quando
aumenta.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI 4y’’ + 4b y’ + y = 0 com y(0)=1, y’(0)=2 e achar o tempo t_M do primeiro máximo e a altura y_M em função de b. O conteúdo é EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e amortecimento (underdamped). Vamos precisar achar as raízes do polinômio característico, determinar a solução geral, aplicar condições iniciais, passar à forma fase-amplitude e impor y’(t_M)=0.
Passo 2
Dividindo a equação por 4 obtemos y’’ + b y’ + (1/4) y = 0. O polinômio característico r^2 + b r + 1/4 = 0 tem discriminante Δ = b^2 -1 <0 (underdamped), e raízes r = -b/2 ± iω, onde
Assim a solução geral é
Passo 3
Aplicando y(0)=1 dá C_1=1. Derivando e impondo y’(0)=2 chegamos a
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Passo 4
Para achar o primeiro máximo escrevemos y em forma fase-amplitude:
onde
Passo 5
A condição y’(t_M)=0 dá
$$\tan(ωt_M - δ) = -\frac{b}{2ω} = -\tan ψ,\quad ψ = \arctan\Bigl(\tfrac{b}{2ω}\Bigr).
Passo 6
A altura do máximo é
Passo 7
Quando b cresce (amortecimento maior) verificamos numericamente que ω diminui, δ e ψ se aproximam, de modo que t_M diminui. Como o fator exponencial e R também decrescem, a altura y_M decresce quando b aumenta.
Resposta
As coordenadas do primeiro máximo são
onde
Ao aumentar b (com 0≤b<1) tem-se tanto t_M(b) decrescente quanto y_M(b) decrescente.