Considere o problema de valor inicial
 
(a) Determine como o comportamento da solução quando 
  aumenta depende do valor inicial 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que tem a equação diferencial 
  com a condição inicial 
 . A gente vai precisar entender como soluções de equações diferenciais se comportam conforme o tempo 
  aumenta, especialmente dependendo do valor inicial 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial:
Aqui, 
  representa a derivada de 
  em relação a 
 , ou seja, a taxa de variação de 
  ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos observar os pontos onde 
 , porque isso nos ajuda a encontrar os pontos de equilíbrio. Para isso, igualamos a equação a zero:
Isso acontece quando:
Esses são os valores de 
  onde a taxa de variação é zero, ou seja, onde a solução pode se estabilizar.
Passo 4
Agora, precisamos entender como 
  se comporta dependendo de 
 :
- 
Se
: Como a equação tem multiplicando tudo, se for negativo, também será negativo (porque o é positivo à medida que aumenta). Isso significa que vai diminuir ainda mais.  - 
Se
: Nesse caso, está entre 0 e 4. Como é positivo (pois e ), vai aumentar conforme aumenta.  - 
Se
: Aqui, é um ponto de equilíbrio, então vai ficar constante, não mudando com o tempo.  - 
Se
: Agora, será negativo, fazendo com que seja negativo. Isso significa que vai diminuir rumo a 4 conforme aumenta.  
Passo 5
Resumindo o que vimos:
- Para valores iniciais menores que 0, 
diminui sem limites.  - Para valores entre 0 e 4, 
aumenta até se aproximar de 4.  - Para 
, permanece constante.  - Para valores maiores que 4, 
diminui até se aproximar de 4.  
Resposta
O comportamento da solução conforme 
  aumenta depende do valor inicial 
  da seguinte forma:
- Se 
: diminui indefinidamente.  - Se 
: aumenta e se aproxima de 4.  - Se 
: permanece constante em 4.  - Se 
: diminui e se aproxima de 4.