Considere o problema de valor inicial
y^prime=x^2+y^2x y, y(1)=2
i) Encontre uma solução para este problema.
ii) Determine o intervalo em que a solução encontrada em (i) é válida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
y^prime = x^2 + y^2x y, y(1) = 2
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs), mais especificamente tentando encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa relação e passe pelo ponto y(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução. Note que a equação pode ser escrita de forma que $ y’ $ (a derivada de $ y $ em relação a $ x $) esteja isolada:
y'
Isso é importante porque queremos expressar $ y’ $ em termos de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Agora, vamos observar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se podemos expressá-la como uma função de $ y/x $. Para verificar isso, fazemos a substituição $ v = \frac{y}{x} $, ou seja, $ y = v x $.

Passo 4

Com $ y = v x $, precisamos encontrar $ y’ $. Usando a regra do produto:
y = v x
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
y'

Passo 5

Agora temos:
v + x v' = 1 + v^2v
Vamos isolar $ v’ $:
v'
Então:
x v' = 1 + v^2v - v = 1 + v^2 - v^2v = 1v

Passo 6

Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis:
v , dv = 1x , dx
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ v $ em termos de $ x $.

Passo 7

Integrando:
integral v , dv = integral 1x , dx Rightarrow 12 v^2 = ln |x| + C,
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
v^2 = 2 ln |x| + C
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
v = yx

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar a constante $ C $:
y(1) = 2

Passo 10

Substituindo $ C = 4 $ na equação:
C = 4
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados (considerando apenas a solução positiva, já que $ y(1) = 2 > 0 $):
y^2 = x^2 (2 ln x + 4)

Passo 11

Agora, vamos determinar o intervalo onde essa solução é válida. Para que a expressão dentro da raiz quadrada seja positiva:
2 ln x + 4 > 0 Rightarrow ln x > -2
Resolvendo para $ x $:
x
Além disso, $ x $ deve ser positivo porque está dentro de um logaritmo e multiplicando $ x $ na expressão de $ y $.

Passo 12

Portanto, a solução encontrada é válida para todos os valores de $ x $ tais que:
x

Resposta

A solução $ y = x \sqrt{2 \ln x + 4} $ é válida para $ x > e^{-2} $.

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