Considere o problema de valor inicial
i) Encontre uma solução para este problema.
ii) Determine o intervalo em que a solução encontrada em (i) é válida.
ii) Determine o intervalo em que a solução encontrada em (i) é válida.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs), mais especificamente tentando encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa relação e passe pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução. Note que a equação pode ser escrita de forma que $ y’ $ (a derivada de $ y $ em relação a $ x $) esteja isolada:
Isso é importante porque queremos expressar $ y’ $ em termos de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Agora, vamos observar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se podemos expressá-la como uma função de $ y/x $. Para verificar isso, fazemos a substituição $ v = \frac{y}{x} $, ou seja, $ y = v x $.
Passo 4
Com $ y = v x $, precisamos encontrar $ y’ $. Usando a regra do produto:
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Passo 5
Agora temos:
Vamos isolar $ v’ $:
Então:
Passo 6
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis:
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ v $ em termos de $ x $.
Passo 7
Integrando:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar a constante $ C $:
Passo 10
Substituindo $ C = 4 $ na equação:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados (considerando apenas a solução positiva, já que $ y(1) = 2 > 0 $):
Passo 11
Agora, vamos determinar o intervalo onde essa solução é válida. Para que a expressão dentro da raiz quadrada seja positiva:
Resolvendo para $ x $:
Além disso, $ x $ deve ser positivo porque está dentro de um logaritmo e multiplicando $ x $ na expressão de $ y $.
Passo 12
Portanto, a solução encontrada é válida para todos os valores de $ x $ tais que:
Resposta
A solução $ y = x \sqrt{2 \ln x + 4} $ é válida para $ x > e^{-2} $.