Considerando o problema de valor inicial y^prime prime+y=4 de y^prime(0)=0. Podemos afirmar que a transformada Y(s) e a solução y(t)=L^-1(Y(s)) são dadas por:
(a) lY(s)=(s+4 e^-2 pi s) /(s^2+1) y(t)=cos (t)+4 u2-(t) sen(t)
© lY(s)=(s+4 e^-2 pi) /(s^2+1) y(t)=cos (t)+4 u2 pi(t) sen(t-2 pi)
(b) nenhuma das demais alternativas
(d) lY(s)=4 e^-2 pi x /(s^2+1) y(t)=-4 t2 tau(t) sen(t)
(e) lY(s)=4 e^-2 pi /(s^2+1) y(t)=4 u2 pi(t) sen(t-2 pi)

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO forçada por um impulso de Dirac:
Precisamos resolver
y''(t) + y(t) = 4,de
O conteúdo é transformada de Laplace e teorema do deslocamento para delta e para a parte inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0), Ly = Y(s), Lde
eas condições iniciais são zero, então
(s^2 + 1),Y(s) = 4,e^-2pi s

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = 4,e^-2pi ss^2 + 1

Passo 4

Para inverter a transformada usamos que
4s^2 + 1 oversetL^-1long<=ftrightarrow 4sin(t),
logo pelo teorema do deslocamento de primeira forma
y(t) = 4,u(t - 2pi),sinl(t - 2pir)

Passo 5

Nenhuma das opções listadas apresenta exatamente Y(s)=4e^-2pi s/(s^2+1) e y(t)=4u(t-2pi)sin(t-2pi). Portanto a resposta correta é a alternativa (b).

Resposta

(b)

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