Encontre a família ortogonal da família de curvas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a família ortogonal da família de curvas dada por $ y^{2} - x = c x $. Isso está ligado ao calculo diferencial, especialmente quando falamos de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar curvas que se cruzam perpendicularmente às curvas da família original.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da família de curvas para facilitar. A equação é $ y^{2} - x = c x $. Podemos rearranjar isso para:
Aqui, $ c $ é uma constante que define cada curva específica na família.
Passo 3
Agora, para encontrar a família ortogonal, precisamos encontrar as curvas que se cruzam perpendicularmente às curvas da família original. Isso significa que as derivadas das duas famílias devem multiplicar para -1 (ou seja, suas inclinações são negativas recíprocas).
Passo 4
Vamos encontrar a derivada da família original. A equação é $ y^{2} = x (1 + c) $. Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Então:
Passo 5
Como queremos a reta ortogonal, a inclinação da derivada para a família ortogonal será o negativo recíproco da inclinação original. Assim:
Passo 6
Agora, precisamos eliminar a constante $ c $ para encontrar uma relação em termos de $ x $ e $ y $ apenas. Da equação original $ y^{2} = x (1 + c) $, podemos isolar $ 1 + c $:
Substituindo isso na derivada ortogonal:
Passo 7
Agora temos a equação diferencial para a família ortogonal:
Vamos separar as variáveis para integrar:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde $ K $ é a constante de integração.
Passo 9
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde $ C = 2K $ é uma nova constante.
Resposta
A família ortogonal é dada por $ y^{2} = -2x^{2} + C $, onde $ C $ é uma constante.