Considere o problema de valor inicial y^{\prime}=y^{\prime 3}, y(0)=0. do Exemplo 3 no texto.
(a) Existe uma solução que contém o ponto (1,1)? Se existe, encontre-a.
(b) Existe uma solução que contém o ponto (2,1)? Se existe, encontre-a.
(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções têm em t=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'(t)=\bigl(y'(t)\bigr)^3,\qquad y(0)=0.
As perguntas são:
(a) Existe alguma solução do problema de valor inicial que passe pelo ponto (1,1)? Se sim, encontrá‑la.
(b) Existe alguma solução do problema de valor inicial que passe pelo ponto (2,1)? Se sim, encontrá‑la.
(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determinar o conjunto dos valores que essas soluções assumem em t=2.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona a derivada y'(t) com seu cubo: em cada t vale y'(t)=(y'(t))^3.
  • Há a condição inicial y(0)=0.
  • Procura‑se (i) existência/identificação de soluções que passem por pontos dados e (ii) o conjunto das imagens em t=2 de todas as soluções que satisfazem a condição inicial.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação ponto a ponto. Para cada t escrevemos p=y'(t). A equação é
p=p^3.
Subtraindo p de ambos os lados:
p-p^3=0\quad\Longrightarrow\quad p(1-p^2)=0.
Logo, para cada t temos que p é raiz do polinômio, isto é, necessariamente
p\in\{-1,0,1\}.
Em outras palavras, em cada ponto t a derivada y'(t) só pode assumir os valores -1, 0 ou 1.

Passo 3

Agora precisamos decidir se y'(t) pode variar no tempo tomando valores diferentes desses três, por exemplo ser -1 em um intervalo e 0 em outro. Aqui entra um fato importante sobre derivadas: a derivada de uma função diferenciável tem a propriedade de Darboux (propriedade do valor intermediário) — isto é, se a derivada toma dois valores distintos em dois pontos, então ela toma também todos os valores intermediários entre eles em pontos entre esses dois. Intuitivamente: a derivada não pode “pular” de um valor para outro sem passar pelos valores intermediários.
Aplicando isso ao nosso caso: o conjunto de valores permitidos para y' dado pela equação é discreto, \{-1,0,1\}. Uma função com a propriedade do valor intermediário que só pode assumir valores em um conjunto discreto tem de ser constante (se ela assumisse dois valores distintos, deveria assumir os valores intermediários, o que é impossível). Portanto y'(t) é constante em todo o domínio (no caso, em todo \mathbb{R} ou em qualquer intervalo em que a solução esteja definida).

Passo 4

Como y'(t) é constante e só pode ser -1, 0 ou 1, concluímos que as únicas possibilidades para a derivada são:
y'(t)\equiv -1,\qquad y'(t)\equiv 0,\qquad\text{ou}\qquad y'(t)\equiv 1.
Integrando cada caso obtemos as formas gerais das possíveis soluções:
  • Se y'\equiv 0 então y(t)=C (constante).
  • Se y'\equiv 1 então y(t)=t+C.
  • Se y'\equiv -1 então y(t)=-t+C.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=0 para cada família, encontramos o valor da constante C:
  • Para y(t)=C, y(0)=C=0, logo y(t)=0.
  • Para y(t)=t+C, y(0)=C=0, logo y(t)=t.
  • Para y(t)=-t+C, y(0)=C=0, logo y(t)=-t.
Portanto as soluções do problema de valor inicial dado são exatamente as três funções
y(t)=0,\qquad y(t)=t,\qquad y(t)=-t.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): calcular y' em cada caso e verificar a equação:
  • Para y(t)=0, y'(t)=0 e 0=(0)^3 é verdadeiro.
  • Para y(t)=t, y'(t)=1 e 1=(1)^3 é verdadeiro.
  • Para y(t)=-t, y'(t)=-1 e -1=(-1)^3 é verdadeiro.
Assim as três funções são realmente soluções do ODE e satisfazem y(0)=0.

Passo 7

Responder (a): precisamos saber se alguma dessas soluções passa por (1,1). Avaliando em t=1:
y(1)=0,\quad y(1)=1,\quad y(1)=-1
respectivamente para as três soluções. O ponto (1,1) pertence à solução y(t)=t. Logo existe uma solução que contém (1,1): é y(t)=t.

Passo 8

Responder (b): verificar se alguma solução passa por (2,1). Avaliando em t=2:
y(2)=0,\quad y(2)=2,\quad y(2)=-2
respectivamente. Nenhuma é igual a 1. Pelo argumento da propriedade de Darboux, não se pode concatenar trechos de soluções diferentes (por exemplo, usar y'=1 em um intervalo e y'=0 em outro) mantendo diferenciabilidade e a equação; portanto não existe solução diferenciável satisfazendo y(0)=0 que passe por (2,1).

Passo 9

Responder (c): o conjunto dos valores possíveis que as soluções do IVP assumem em t=2 é simplesmente
\{y(2)\mid y \text{ é solução do IVP}\}=\{-2,\,0,\,2\},éçã
obtido avaliando as três soluções encontradas em t=2.

Resposta

(a) y(t)=t
(b) Não existe solução do IVP que contenha (2,1).
(c) \{-2,\,0,\,2\}

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