Considere o problema de valor inicial
. do Exemplo 3 no texto.
(a) Existe uma solução que contém o ponto (1,1)? Se existe, encontre-a.
(b) Existe uma solução que contém o ponto (2,1)? Se existe, encontre-a.
(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções têm em
.
(a) Existe uma solução que contém o ponto (1,1)? Se existe, encontre-a.
(b) Existe uma solução que contém o ponto (2,1)? Se existe, encontre-a.
(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções têm em
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
As perguntas são:
(a) Existe alguma solução do problema de valor inicial que passe pelo ponto ? Se sim, encontrá‑la.
(b) Existe alguma solução do problema de valor inicial que passe pelo ponto ? Se sim, encontrá‑la.
(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determinar o conjunto dos valores que essas soluções assumem em .
(a) Existe alguma solução do problema de valor inicial que passe pelo ponto
(b) Existe alguma solução do problema de valor inicial que passe pelo ponto
(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determinar o conjunto dos valores que essas soluções assumem em
Informações relevantes dadas:
- A equação relaciona a derivada
com seu cubo: em cada vale . - Há a condição inicial
. - Procura‑se (i) existência/identificação de soluções que passem por pontos dados e (ii) o conjunto das imagens em
de todas as soluções que satisfazem a condição inicial.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação ponto a ponto. Para cada
escrevemos
. A equação é
Subtraindo
de ambos os lados:
Logo, para cada
temos que
é raiz do polinômio, isto é, necessariamente
Em outras palavras, em cada ponto
a derivada
só pode assumir os valores
,
ou
.
Passo 3
Agora precisamos decidir se
pode variar no tempo tomando valores diferentes desses três, por exemplo ser
em um intervalo e
em outro. Aqui entra um fato importante sobre derivadas: a derivada de uma função diferenciável tem a propriedade de Darboux (propriedade do valor intermediário) — isto é, se a derivada toma dois valores distintos em dois pontos, então ela toma também todos os valores intermediários entre eles em pontos entre esses dois. Intuitivamente: a derivada não pode “pular” de um valor para outro sem passar pelos valores intermediários.
Aplicando isso ao nosso caso: o conjunto de valores permitidos para
dado pela equação é discreto,
. Uma função com a propriedade do valor intermediário que só pode assumir valores em um conjunto discreto tem de ser constante (se ela assumisse dois valores distintos, deveria assumir os valores intermediários, o que é impossível). Portanto
é constante em todo o domínio (no caso, em todo
ou em qualquer intervalo em que a solução esteja definida).
Passo 4
Como
é constante e só pode ser
,
ou
, concluímos que as únicas possibilidades para a derivada são:
Integrando cada caso obtemos as formas gerais das possíveis soluções:
- Se
então (constante). - Se
então . - Se
então .
Passo 5
Impondo a condição inicial
para cada família, encontramos o valor da constante
:
- Para
, , logo . - Para
, , logo . - Para
, , logo .
Portanto as soluções do problema de valor inicial dado são exatamente as três funções
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): calcular
em cada caso e verificar a equação:
- Para
, e é verdadeiro. - Para
, e é verdadeiro. - Para
, e é verdadeiro.
Assim as três funções são realmente soluções do ODE e satisfazem
.
Passo 7
Responder (a): precisamos saber se alguma dessas soluções passa por
. Avaliando em
:
respectivamente para as três soluções. O ponto
pertence à solução
. Logo existe uma solução que contém
: é
.
Passo 8
Responder (b): verificar se alguma solução passa por
. Avaliando em
:
respectivamente. Nenhuma é igual a
. Pelo argumento da propriedade de Darboux, não se pode concatenar trechos de soluções diferentes (por exemplo, usar
em um intervalo e
em outro) mantendo diferenciabilidade e a equação; portanto não existe solução diferenciável satisfazendo
que passe por
.
Passo 9
Responder (c): o conjunto dos valores possíveis que as soluções do IVP assumem em
é simplesmente
obtido avaliando as três soluções encontradas em
.
Resposta
(a)
(b) Não existe solução do IVP que contenha .
(c)
(b) Não existe solução do IVP que contenha
(c)