(d)
, onde
é o círculo
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é o círculo
.\n
Informações e o que é pedido:
Informações e o que é pedido:
- A curva
é o círculo centrado na origem com raio . - A integral é do tipo
com e . - É pedido o valor numérico da integral sobre a curva fechada
. - Vou assumir a orientação positiva (contra‑horária). Se a orientação fosse oposta, o resultado teria sinal trocado.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teorema de Green porque transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região
interior ao círculo, e aqui isso simplifica muito os cálculos (a região é um disco e a expressão resultante fica radialmente simétrica).\n
Enunciado do Teorema de Green (caso conveniente): se e
têm derivadas parciais contínuas numa região que contém
e sua fronteira
orientada positivamente, então
Enunciado do Teorema de Green (caso conveniente): se
Aqui
é o disco
. As funções
e
são polinômios, têm derivadas contínuas em todo lugar, logo as hipóteses do teorema valem.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no integrando:
Portanto o integrando do lado direito do Teorema de Green é
Passo 4
Aplicar Green para transformar a integral de linha em integral dupla sobre o disco
:
Como a região
é o disco de raio
, convém passar para coordenadas polares. Em coordenadas polares:
Os limites são
e
. Substituindo:
Passo 5
Calcular a integral em
e em
passo a passo.
Primeiro a integral em
:
Agora a integral em
:
Passo 6
Interpretação final: pelo Teorema de Green e pelos cálculos em coordenadas polares, a integral de linha sobre o círculo
(orientado positivamente) vale
.\n
Observação rápida: poderia-se também parametrizar diretamente por
e calcular
; daria o mesmo resultado, mas é um pouco mais trabalhoso do que usar Green aqui.
Observação rápida: poderia-se também parametrizar diretamente