(d) \int_{C} y^{3} d x-x^{3} d y, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C} y^{3}\,dx - x^{3}\,dy,
onde C é o círculo \;x^{2}+y^{2}=4.\n
Informações e o que é pedido:
  • A curva C é o círculo centrado na origem com raio 2.
  • A integral é do tipo \int_{C} P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=y^{3} e Q(x,y)=-x^{3}.
  • É pedido o valor numérico da integral sobre a curva fechada C.
  • Vou assumir a orientação positiva (contra‑horária). Se a orientação fosse oposta, o resultado teria sinal trocado.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teorema de Green porque transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região D interior ao círculo, e aqui isso simplifica muito os cálculos (a região é um disco e a expressão resultante fica radialmente simétrica).\n
Enunciado do Teorema de Green (caso conveniente): se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região que contém D e sua fronteira C orientada positivamente, então
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Aqui D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}. As funções P=y^{3} e Q=-x^{3} são polinômios, têm derivadas contínuas em todo lugar, logo as hipóteses do teorema valem.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial(-x^{3})}{\partial x} = -3x^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial(y^{3})}{\partial y} = 3y^{2}.
Portanto o integrando do lado direito do Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -3x^{2} - 3y^{2} = -3\,(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Aplicar Green para transformar a integral de linha em integral dupla sobre o disco D:
\int_{C} y^{3}\,dx - x^{3}\,dy = \iint_{D} -3\,(x^{2}+y^{2})\,dA.
Como a região D é o disco de raio 2, convém passar para coordenadas polares. Em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Os limites são 0\le r\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi. Substituindo:
\iint_{D} -3\,(x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} -3\,r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} -3\,r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r e em \theta passo a passo.
Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} -3\,r^{3}\,dr = -3\cdot\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = -3\cdot\frac{2^{4}}{4} = -3\cdot\frac{16}{4} = -3\cdot 4 = -12.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} (-12)\,d\theta = -12\cdot\left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = -12\cdot 2\pi = -24\pi.

Passo 6

Interpretação final: pelo Teorema de Green e pelos cálculos em coordenadas polares, a integral de linha sobre o círculo x^{2}+y^{2}=4 (orientado positivamente) vale -24\pi.\n
Observação rápida: poderia-se também parametrizar diretamente C por \;x=2\cos\theta,\;y=2\sin\theta,\;0\le\theta\le2\pi e calcular \int (y^{3}x'(\theta)-x^{3}y'(\theta))\,d\theta; daria o mesmo resultado, mas é um pouco mais trabalhoso do que usar Green aqui.

Resposta

-24\pi

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