determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
,
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
onde
é uma constante. A pergunta pede: determinar, sem resolver a EDO, um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial certamente existe (isto é, um intervalo aberto que contém
onde vale o teorema de existência e unicidade).
Informações relevantes do enunciado:
- A equação é de primeira ordem com parâmetro
. - Condição inicial em
: . - Precisa-se apenas garantir localmente (em torno de
) a existência (e unicidade) da solução, sem resolver a equação.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
. Para isso divide-se por
(desde que
):
Aqui definimos
Explicação do teorema usado (em linguagem simples): para uma EDO linear de primeira ordem, se
e
são contínuas num intervalo aberto que contenha
, então existe uma única solução que passa por
. Portanto nosso objetivo é encontrar um intervalo aberto contendo
onde
e
sejam contínuas.
Passo 3
Identificar onde
e
deixam de ser contínuas: isso ocorre quando o denominador
é zero. Resolver
quando
é real (ou seja, quando
). Para os demais sinais de
:
- Se
: há dois pontos singulares reais . - Se
: há um ponto singular em . - Se
: não existem raízes reais de , logo para todo .
Passo 4
Determinar um intervalo em torno de
que não contenha nenhuma dessas singularidades, garantindo continuidade de
e
.
-
Se
: não há singularidades reais, logo e são contínuas em toda a reta. Assim existe (e é única) solução definida em todo ; em particular qualquer intervalo aberto contendo serve (por exemplo ). -
Se
: a única singularidade é . A distância de até é . Podemos escolher um raio menor que , por exemplo . Então o intervalo contém e não contém , logo e são contínuas nesse intervalo e a solução existe e é única ali. -
Se
: - As singularidades reais são
. A distância do ponto até a singularidade mais próxima é
Observação prática: comotem-se e portanto a mais próxima é sempre . Assim . - Escolhe-se então um raio
com . Uma escolha simples e explícita é
Assim o intervalocontéme não contém nenhuma singularidade, garantindo continuidade de e e, portanto, existência e unicidade da solução nesse intervalo. - As singularidades reais são
Passo 5
Caso especial importante: se
então
e uma das singularidades é
— ou seja, o coeficiente multiplicando
é zero no ponto da condição inicial. Nessa situação a hipótese do teorema (continuidade de
e
num intervalo contendo
) falha imediatamente, portanto o teorema de existência e unicidade não garante nada; não se pode afirmar, sem uma análise mais refinada da equação, que existe (nem que é única) uma solução passando por
.
Resposta
Se
:
.
Se
:
(por exemplo).
Se
e
:
.
Se
: o teorema de existência e unicidade não garante solução local em
.