determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
\left(A-t^{2}\right) y^{\prime}+2 t y=3 t^{2},
y(1)=-3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left(A-t^{2}\right) y^{\prime}+2 t y=3 t^{2},\qquad y(1)=-3,
onde A é uma constante. A pergunta pede: determinar, sem resolver a EDO, um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial certamente existe (isto é, um intervalo aberto que contém t_{0}=1 onde vale o teorema de existência e unicidade).
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem com parâmetro A.
  • Condição inicial em t_{0}=1: y(1)=-3.
  • Precisa-se apenas garantir localmente (em torno de t=1) a existência (e unicidade) da solução, sem resolver a equação.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y'+p(t)y=q(t). Para isso divide-se por A-t^{2} (desde que A-t^{2}\neq0):
y' + \frac{2t}{A-t^{2}}\,y = \frac{3t^{2}}{A-t^{2}}.
Aqui definimos
p(t)=\frac{2t}{A-t^{2}},\qquad q(t)=\frac{3t^{2}}{A-t^{2}}.
Explicação do teorema usado (em linguagem simples): para uma EDO linear de primeira ordem, se p(t) e q(t) são contínuas num intervalo aberto que contenha t_{0}, então existe uma única solução que passa por t_{0}. Portanto nosso objetivo é encontrar um intervalo aberto contendo 1 onde p e q sejam contínuas.

Passo 3

Identificar onde p(t) e q(t) deixam de ser contínuas: isso ocorre quando o denominador A-t^{2} é zero. Resolver
A-t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{A},
quando \sqrt{A} é real (ou seja, quando A>0). Para os demais sinais de A:
  • Se A>0: há dois pontos singulares reais t=\pm\sqrt{A}.
  • Se A=0: há um ponto singular em t=0.
  • Se A<0: não existem raízes reais de A-t^{2}=0, logo A-t^{2}\neq0 para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Determinar um intervalo em torno de t_{0}=1 que não contenha nenhuma dessas singularidades, garantindo continuidade de p e q.
  • Se A<0: não há singularidades reais, logo p e q são contínuas em toda a reta. Assim existe (e é única) solução definida em todo \mathbb{R}; em particular qualquer intervalo aberto contendo 1 serve (por exemplo (-\infty,\infty)).
  • Se A=0: a única singularidade é t=0. A distância de 1 até 0 é 1. Podemos escolher um raio r menor que 1, por exemplo r=\tfrac{1}{2}. Então o intervalo \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) contém 1 e não contém 0, logo p e q são contínuas nesse intervalo e a solução existe e é única ali.
  • Se A>0:
    • As singularidades reais são t=\pm\sqrt{A}. A distância do ponto 1 até a singularidade mais próxima é
    d=\min\big\{|1-\sqrt{A}|,\;|1+\sqrt{A}|\big\}.
    Observação prática: como \sqrt{A}\ge0 tem-se |1+\sqrt{A}|=1+\sqrt{A}\ge1 e portanto a mais próxima é sempre |1-\sqrt{A}|. Assim d=|1-\sqrt{A}|.
    • Escolhe-se então um raio r com 0<r<d. Uma escolha simples e explícita é
    r=\frac{|1-\sqrt{A}|}{2}.
    Assim o intervalo
    \bigl(1-r,\,1+r\bigr)=\left(1-\frac{|1-\sqrt{A}|}{2},\,1+\frac{|1-\sqrt{A}|}{2}\right)
    contém 1 e não contém nenhuma singularidade, garantindo continuidade de p e q e, portanto, existência e unicidade da solução nesse intervalo.

Passo 5

Caso especial importante: se A=1 então \sqrt{A}=1 e uma das singularidades é t=1 — ou seja, o coeficiente multiplicando y' é zero no ponto da condição inicial. Nessa situação a hipótese do teorema (continuidade de p e q num intervalo contendo t_{0}) falha imediatamente, portanto o teorema de existência e unicidade não garante nada; não se pode afirmar, sem uma análise mais refinada da equação, que existe (nem que é única) uma solução passando por t=1.

Resposta

Se A<0: (-\infty,\infty).
Se A=0: \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) (por exemplo).
Se A>0 e A\neq1: \displaystyle\left(1-\frac{|1-\sqrt{A}|}{2},\,1+\frac{|1-\sqrt{A}|}{2}\right).
Se A=1: o teorema de existência e unicidade não garante solução local em t=1.

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