1. Considere o problema y^{\prime \prime}-4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)= b \neq 0. Mostre que y(t) \neq 0 para todo t \neq 0.

Passo 1

O enunciado trata de resolver o problema de valor inicial da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y = 0,
sujeito a
y(0)=0,\quad y'(0)=b\neq 0.
O conteúdo é resolução via equação característica e depois uso da forma explícita de y(t) para mostrar que não pode anular-se em t\neq 0.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - 4 = 0
cuja raízes são
r = 2,\quad r = -2.
Logo a solução geral é
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=0\) dá \[C_1 + C_2 = 0.
Em seguida, y'(t)=2C_1 e^{2t}-2C_2 e^{-2t}, e em t=0 temos
y'(0)=2C_1 - 2C_2 = b.
O sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\\\ 2C_1 - 2C_2 = b \end{cases}
implica C_2=-C_1\] e \(2C_1 -2(-C_1)=4C_1=b, logo
C_1 = \frac{b}{4},\quad C_2 = -\frac{b}{4}.

Passo 4

Substituindo em y(t) obtemos
y(t) = \frac{b}{4}e^{2t} - \frac{b}{4}e^{-2t} = \frac{b}{4}\bigl(e^{2t}-e^{-2t}\bigr) = \frac{b}{2}\,\operatorname{sinh}(2t).

Passo 5

Sabemos que a função hiperbólica \operatorname{sinh}(x) satisfaz \operatorname{sinh}(x)=0 se, e somente se, x=0. Assim, para t\neq 0 temos 2t\neq 0 e portanto
\operatorname{sinh}(2t)\neq 0.
Como b\neq 0, segue
y(t)=\frac{b}{2}\,\operatorname{sinh}(2t)\neq 0 \quad\text{para todo }t\neq 0.

Resposta

Ficou demonstrado que
y(t)=\frac{b}{2}\operatorname{sinh}(2t)
e como \operatorname{sinh}(2t)\neq0 sempre que t\neq0, concluímos
y(t)\neq0\quad\forall\,t\neq0.

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