Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
\begin{array}{lrl} \max & z=3 x_{1}+2 x_{2} & \\\ \text { sujeito a } & x_{1}-x_{2} & \leq 1 \\\ x_{1}-x_{2} & \leq 2 \\\ x_{1} & \geq-5 \\\\ 2 x_{1}+x_{2} & =8 \\\ x_{1}+x_{2} & \leq 10 \\\ x_{1}+2 x_{2} & \leq 12 \\\ x_{2} & \leq 10 \\\ x_{2} & \geq 0 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(i) solucionar graficamente o problema de otimização linear (ou explicar por que não é possível);
(ii) indicar, em cada caso, se a solução, quando existir, é única, múltipla ou ilimitada.
As informações dadas são (vou repetir todas as restrições para ficar claro):
\begin{array}{l} \max\; z=3x_{1}+2x_{2} \\[4pt] \text{sujeito a} \\[4pt] \quad x_{1}-x_{2} \le 1 \\[4pt] \quad x_{1}-x_{2} \le 2 \\[4pt] \quad x_{1} \ge -5 \\[4pt] \quad 2x_{1}+x_{2} = 8 \\[4pt] \quad x_{1}+x_{2} \le 10 \\[4pt] \quad x_{1}+2x_{2} \le 12 \\[4pt] \quad x_{2} \le 10 \\[4pt] \quad x_{2} \ge 0 \end{array}
Observações iniciais que ficam só como lista do que foi dado (sem resolver ainda): há uma restrição de igualdade \;2x_{1}+x_{2}=8\;, várias desigualdades lineares e a função objetivo linear \;z=3x_{1}+2x_{2}\;.]

Passo 2

Transformar a restrição de igualdade em uma relação explícita e reduzir o problema a uma variável (isso facilita a solução gráfica porque a igualdade impõe que a região factível esteja sobre uma reta). Da igualdade temos:
2x_{1}+x_{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=8-2x_{1}.
Explicação didática: quando uma restrição é uma igualdade linear em duas variáveis, a solução factível fica forçada a pontos dessa reta. Substituir x_{2} pela expressão em função de x_{1} nos permite verificar as demais desigualdades apenas em termos de x_{1} — assim transformamos um problema 2D numa verificação de intervalo em 1D.

Passo 3

Substituímos x_{2}=8-2x_{1} em cada desigualdade (faço passo a passo e explico cada manipulação):
  1. De \;x_{1}-x_{2}\le 1\;:
x_{1}-(8-2x_{1})\le 1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}-8+2x_{1}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{1}\le 9 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\le 3.
(Explicação: somamos termos semelhantes e isolamos x_{1}.)
  1. De \;x_{1}-x_{2}\le 2\;:
x_{1}-(8-2x_{1})\le 2 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{1}\le 10 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\le \tfrac{10}{3}.
(Essa é menos restritiva que x_{1}\le 3, pois \tfrac{10}{3}\approx 3{,}333>3.)
  1. De \;x_{1}\ge -5\; fica simplesmente
x_{1}\ge -5.
  1. De \;x_{1}+x_{2}\le 10\;:
x_{1}+(8-2x_{1})\le 10 \quad\Longrightarrow\quad 8-x_{1}\le 10 \quad\Longrightarrow\quad -x_{1}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\ge -2.
(Observe a troca de sinal ao multiplicar por -1.)
  1. De \;x_{1}+2x_{2}\le 12\;:
x_{1}+2(8-2x_{1})\le 12 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+16-4x_{1}\le 12 \quad\Longrightarrow\quad -3x_{1}\le -4 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\ge \tfrac{4}{3}.
(Quando dividimos por -3 temos que inverter o sentido da desigualdade; aqui -3x_{1}\le -4 x_{1}\ge 4/3.)
  1. De \;x_{2}\le 10\;:
8-2x_{1}\le 10 \quad\Longrightarrow\quad -2x_{1}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\ge -1.
  1. De \;x_{2}\ge 0\;:
8-2x_{1}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1}\le 8 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\le 4.
Agora combinamos todas as restrições em x_{1}. Temos:
x_{1}\le 3,\quad x_{1}\le \tfrac{10}{3},\quad x_{1}\le 4
e
x_{1}\ge -5,\quad x_{1}\ge -2,\quad x_{1}\ge \tfrac{4}{3},\quad x_{1}\ge -1.
A interseção dessas restrições é o intervalo
x_{1}\in \left[\tfrac{4}{3},\,3\right],
pois \tfrac{4}{3} é o maior limite inferior e 3 é o menor limite superior.
Comentário didático: geometricamente isso significa que a reta definida por 2x_{1}+x_{2}=8 só contém pontos factíveis quando x_{1} está entre \tfrac{4}{3} e 3; portanto a região factível é um segmento de reta (ou seja, um conjunto compacto e unidimensional).

Passo 4

Encontrar as coordenadas dos extremos do segmento factível (os candidatos óbvios para máximo/mínimo da função linear).
Para x_{1}=\tfrac{4}{3}:
x_{2}=8-2\cdot\tfrac{4}{3}=8-\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3}.
Então o ponto é \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{16}{3}\right).
Para x_{1}=3:
x_{2}=8-2\cdot 3=8-6=2.
Então o ponto é (3,2).
Explicação didática: em problemas lineares sobre um segmento a solução ótima (se existir) ocorre num extremo do segmento, porque a função objetivo é linear.

Passo 5

Avaliar a função objetivo nos extremos (faço também uma redução direta para ver o comportamento ao longo da reta):
Substituindo x_{2}=8-2x_{1} na função objetivo:
z(x_{1})=3x_{1}+2(8-2x_{1})=3x_{1}+16-4x_{1}=16-x_{1}.
Isto mostra que, ao longo da reta de igualdade, z depende linearmente de x_{1} e é estritamente decrescente em x_{1} (coeficiente de x_{1} é -1). Portanto o máximo ocorre no menor valor possível de x_{1} no intervalo factível, isto é em x_{1}=\tfrac{4}{3}.
Cálculo numérico nos extremos para confirmar:
z\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{16}{3}\right)=3\cdot\tfrac{4}{3}+2\cdot\tfrac{16}{3}=4+\tfrac{32}{3}=\tfrac{44}{3}\approx 14{,}666\ldots
z(3,2)=3\cdot 3+2\cdot 2=9+4=13.
Conclusão: o valor máximo é \tfrac{44}{3} no ponto \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{16}{3}\right).

Passo 6

Determinar se a solução é única, múltipla ou ilimitada e comentar graficamente:
  • A região factível é o segmento da reta entre \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{16}{3}\right) e (3,2). É um conjunto limitado (compacto) e unidimensional.
  • A função objetivo ao longo desse segmento é z(x_{1})=16-x_{1}, que é estritamente decrescente, logo só atinge o máximo em x_{1}=\tfrac{4}{3}. Portanto a solução ótima é única.
  • Não há solução ilimitada porque a igualdade 2x_{1}+x_{2}=8 já limita a direção possível da solução e as demais desigualdades restringem ainda mais para um segmento finito.
Comentário gráfico intuitivo (didático): se você desenhar a reta 2x_{1}+x_{2}=8 e cortar com as metades definidas pelas outras desigualdades, verá um pequeno segmento. As linhas de nível da função z=3x_{1}+2x_{2} são retas paralelas; ao mover essas retas na direção que aumenta z, a última interseção com o segmento factível ocorre exatamente no extremo \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{16}{3}\right). Como a função varia estritamente ao longo do segmento, não existe outro ponto com mesmo valor ótimo.

Resposta

\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{16}{3}\right),\; z_{\max}=\tfrac{44}{3}
Solução: única.

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