Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(i) solucionar graficamente o problema de otimização linear (ou explicar por que não é possível);
(ii) indicar, em cada caso, se a solução, quando existir, é única, múltipla ou ilimitada.
(i) solucionar graficamente o problema de otimização linear (ou explicar por que não é possível);
(ii) indicar, em cada caso, se a solução, quando existir, é única, múltipla ou ilimitada.
As informações dadas são (vou repetir todas as restrições para ficar claro):
Observações iniciais que ficam só como lista do que foi dado (sem resolver ainda): há uma restrição de igualdade
, várias desigualdades lineares e a função objetivo linear
.]
Passo 2
Transformar a restrição de igualdade em uma relação explícita e reduzir o problema a uma variável (isso facilita a solução gráfica porque a igualdade impõe que a região factível esteja sobre uma reta). Da igualdade temos:
Explicação didática: quando uma restrição é uma igualdade linear em duas variáveis, a solução factível fica forçada a pontos dessa reta. Substituir
pela expressão em função de
nos permite verificar as demais desigualdades apenas em termos de
— assim transformamos um problema 2D numa verificação de intervalo em 1D.
Passo 3
Substituímos
em cada desigualdade (faço passo a passo e explico cada manipulação):
- De
:
(Explicação: somamos termos semelhantes e isolamos
.)
- De
:
(Essa é menos restritiva que
, pois
.)
- De
fica simplesmente
- De
:
(Observe a troca de sinal ao multiplicar por
.)
- De
:
(Quando dividimos por
temos que inverter o sentido da desigualdade; aqui
dá
.)
- De
:
- De
:
Agora combinamos todas as restrições em
. Temos:
e
A interseção dessas restrições é o intervalo
pois
é o maior limite inferior e
é o menor limite superior.
Comentário didático: geometricamente isso significa que a reta definida por
só contém pontos factíveis quando
está entre
e
; portanto a região factível é um segmento de reta (ou seja, um conjunto compacto e unidimensional).
Passo 4
Encontrar as coordenadas dos extremos do segmento factível (os candidatos óbvios para máximo/mínimo da função linear).
Para
:
Então o ponto é
.
Para
:
Então o ponto é
.
Explicação didática: em problemas lineares sobre um segmento a solução ótima (se existir) ocorre num extremo do segmento, porque a função objetivo é linear.
Passo 5
Avaliar a função objetivo nos extremos (faço também uma redução direta para ver o comportamento ao longo da reta):
Substituindo
na função objetivo:
Isto mostra que, ao longo da reta de igualdade,
depende linearmente de
e é estritamente decrescente em
(coeficiente de
é
). Portanto o máximo ocorre no menor valor possível de
no intervalo factível, isto é em
.
Cálculo numérico nos extremos para confirmar:
Conclusão: o valor máximo é
no ponto
.
Passo 6
Determinar se a solução é única, múltipla ou ilimitada e comentar graficamente:
- A região factível é o segmento da reta entre
e . É um conjunto limitado (compacto) e unidimensional. - A função objetivo ao longo desse segmento é
, que é estritamente decrescente, logo só atinge o máximo em . Portanto a solução ótima é única. - Não há solução ilimitada porque a igualdade
já limita a direção possível da solução e as demais desigualdades restringem ainda mais para um segmento finito.
Comentário gráfico intuitivo (didático): se você desenhar a reta
e cortar com as metades definidas pelas outras desigualdades, verá um pequeno segmento. As linhas de nível da função
são retas paralelas; ao mover essas retas na direção que aumenta
, a última interseção com o segmento factível ocorre exatamente no extremo
. Como a função varia estritamente ao longo do segmento, não existe outro ponto com mesmo valor ótimo.
Resposta
Solução: única.