Considere um processo fermentativo em batelada alimentada, em que meio de cultura é alimentado a uma taxa de diluição constante de
a um reator com volume inicial de
. Calcule o volume de caldo no reator após 1 hora e o volume ao final da alimentação ( 10 h ).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: taxa de diluição constante
. - Dado: volume inicial do reator
. - Pedido: calcular o volume de caldo no reator após
hora e ao final da alimentação ( h).
Passo 2
Entender o que significa “taxa de diluição constante” e escrever a equação diferencial para o volume.
- A taxa de diluição
é definida por , onde é a vazão de alimentação (em ) e é o volume no reator (em ). - Como
é constante e , a variação do volume é dada por
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com crescimento proporcional ao volume atual.
Passo 3
Resolver a equação diferencial
.
- Separando variáveis:
- Integrando entre
e e entre e :
- Exponenciando:
Passo 4
Aplicar a fórmula obtida aos tempos pedidos. Primeiro para
.
- Usando
com e :
- Avaliando
por aproximação (série ou calculadora): . - Logo
Passo 5
Agora para
.
- Calcular o expoente:
.
- Avaliando
por aproximação: . - Logo
Passo 6
Cheque rápido de consistência (sanidade): com alimentação contínua proporcional ao volume (modelo
), o volume cresce exponencialmente. Os valores obtidos (cerca de
após 1 h e
após 10 h) mostram um crescimento acelerado consistente com
.