Considere um processo fermentativo em batelada alimentada, em que meio de cultura é alimentado a uma taxa de diluição constante de 0,212 \mathrm{~h}^{-1} a um reator com volume inicial de 100 \mathrm{~m}^{3}. Calcule o volume de caldo no reator após 1 hora e o volume ao final da alimentação ( 10 h ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: taxa de diluição constante \,D=0{,}212\\ \mathrm{h}^{-1}\,.
  • Dado: volume inicial do reator \,V_0=100\\ \mathrm{m}^{3}\,.
  • Pedido: calcular o volume de caldo no reator após 1 hora e ao final da alimentação ( 10 h).

Passo 2

Entender o que significa “taxa de diluição constante” e escrever a equação diferencial para o volume.
  • A taxa de diluição D é definida por \,D=\dfrac{F}{V}\,, onde \,F é a vazão de alimentação (em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}) e \,V é o volume no reator (em \mathrm{m}^3).
  • Como D é constante e F=DV, a variação do volume é dada por
\frac{dV}{dt}=F=DV.
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com crescimento proporcional ao volume atual.

Passo 3

Resolver a equação diferencial \dfrac{dV}{dt}=DV.
  • Separando variáveis:
\frac{dV}{V}=D\,dt.
  • Integrando entre t=0 e t=t e entre V=V_0 e V=V(t):
\int_{V_0}^{V(t)}\frac{dV}{V}=\int_{0}^{t}D\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{V(t)}{V_0}\right)=Dt.
  • Exponenciando:
V(t)=V_0\,e^{Dt}.

Passo 4

Aplicar a fórmula obtida aos tempos pedidos. Primeiro para t=1\\ \mathrm{h}.
  • Usando \,V(t)=V_0 e^{Dt}\, com \,V_0=100\\ \mathrm{m}^{3} e \,D=0{,}212\\ \mathrm{h}^{-1}:
V(1)=100\\ e^{0{,}212\cdot 1}=100\\ e^{0{,}212}.
  • Avaliando e^{0{,}212} por aproximação (série ou calculadora): e^{0{,}212}\approx 1{,}23614.
  • Logo
V(1)\approx 100 \times 1{,}23614 = 123{,}61\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Agora para t=10\\ \mathrm{h}.
  • Calcular o expoente: Dt=0{,}212\times 10=2{,}12.
V(10)=100\\ e^{2{,}12}.
  • Avaliando e^{2{,}12} por aproximação: e^{2{,}12}\approx 8{,}33114.
  • Logo
V(10)\approx 100 \times 8{,}33114 = 833{,}11\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (sanidade): com alimentação contínua proporcional ao volume (modelo dV/dt=DV), o volume cresce exponencialmente. Os valores obtidos (cerca de 124\\ \mathrm{m}^3 após 1 h e 833\\ \mathrm{m}^3 após 10 h) mostram um crescimento acelerado consistente com D>0.

Resposta

V(1)\approx 123{,}61\\ \mathrm{m}^{3}
V(10)\approx 833{,}11\\ \mathrm{m}^{3}

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