Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio característico
e pede para determinar se ele representa um sistema estável ou instável.
Informações extraídas do enunciado (coeficientes do polinômio):
Informações extraídas do enunciado (coeficientes do polinômio):
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo constante).
A pergunta é: o sistema associado a
é estável (todas as raízes com parte real negativa) ou instável?
Passo 2
O que vamos usar e por quê (explicação didática do critério):\n
Um sistema linear (com polinômio característico ) é estável se e somente se todas as raízes de
têm parte real negativa. O critério de Routh fornece uma forma prática de saber quantas raízes têm parte real positiva sem calcular as raízes explicitamente: monta-se a tabela de Routh e o número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes com parte real positiva. Vou aplicar exatamente esse procedimento passo a passo.
Um sistema linear (com polinômio característico
Passo 3
Montagem inicial da tabela de Routh para um polinômio de grau 3.\n
A tabela tem linhas correspondentes a . As duas primeiras linhas são preenchidas com os coeficientes do polinômio em ordem:
A tabela tem linhas correspondentes a
Substituindo os coeficientes que pegamos no Passo 1:
Passo 4
Cálculo da linha
(explicando a fórmula).\n
Para o elemento da primeira coluna da linha usa-se a fórmula (para grau 3):
Para o elemento da primeira coluna da linha
Aqui cada símbolo significa:
-
são os coeficientes do polinômio conforme listados no Passo 1; -
é o elemento que vai na primeira coluna da linha .
Agora substituindo valores:
Assim a linha
fica com primeiro elemento
(o segundo elemento dessa linha é zero porque o polinômio é de grau ímpar com apenas duas colunas úteis).
Passo 5
Linha
e leitura da primeira coluna.\n
A última linha contém simplesmente
:
A última linha
Portanto a primeira coluna completa da tabela de Routh é, de cima para baixo,
Passo 6
Interpretação (contagem de mudanças de sinal) e conclusão.\n
Contar as mudanças de sinal ao descer a primeira coluna:
Contar as mudanças de sinal ao descer a primeira coluna:
-
para : sem mudança de sinal (positivo→positivo), -
para : sem mudança (positivo→positivo), -
para : há mudança de sinal (positivo→negativo).
Há exatamente
mudança de sinal na primeira coluna. Pelo critério de Routh, isso significa que existem
raiz de
com parte real positiva. Logo o polinômio tem um pólo no semiplano direito e o sistema é instável.
Resposta
Instável (existe
pólo com parte real positiva).