Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
D(s)=s^{3}+4 s^{2}+s-6.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
D(s)=s^{3}+4s^{2}+s-6
e pede para determinar se ele representa um sistema estável ou instável.
Informações extraídas do enunciado (coeficientes do polinômio):
  • a_3=1 (coeficiente de s^{3}),
  • a_2=4 (coeficiente de s^{2}),
  • a_1=1 (coeficiente de s),
  • a_0=-6 (termo constante).
A pergunta é: o sistema associado a D(s) é estável (todas as raízes com parte real negativa) ou instável?

Passo 2

O que vamos usar e por quê (explicação didática do critério):\n
Um sistema linear (com polinômio característico D(s)) é estável se e somente se todas as raízes de D(s) têm parte real negativa. O critério de Routh fornece uma forma prática de saber quantas raízes têm parte real positiva sem calcular as raízes explicitamente: monta-se a tabela de Routh e o número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes com parte real positiva. Vou aplicar exatamente esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Montagem inicial da tabela de Routh para um polinômio de grau 3.\n
A tabela tem linhas correspondentes a s^{3},s^{2},s^{1},s^{0}. As duas primeiras linhas são preenchidas com os coeficientes do polinômio em ordem:
\begin{array}{c|cc} s^{3} & a_{3} & a_{1} \\\ s^{2} & a_{2} & a_{0} \end{array}
Substituindo os coeficientes que pegamos no Passo 1:
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & 1 \\\ s^{2} & 4 & -6 \end{array}

Passo 4

Cálculo da linha s^{1} (explicando a fórmula).\n
Para o elemento da primeira coluna da linha s^{1} usa-se a fórmula (para grau 3):
b_{1}=\dfrac{a_{2}\,a_{1}-a_{3}\,a_{0}}{a_{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_{3},a_{2},a_{1},a_{0} são os coeficientes do polinômio conforme listados no Passo 1;
  • b_{1} é o elemento que vai na primeira coluna da linha s^{1}.
Agora substituindo valores:
b_{1}=\dfrac{4\cdot 1 - 1\cdot(-6)}{4}=\dfrac{4+6}{4}=\dfrac{10}{4}=2{,}5.
Assim a linha s^{1} fica com primeiro elemento 2{,}5 (o segundo elemento dessa linha é zero porque o polinômio é de grau ímpar com apenas duas colunas úteis).

Passo 5

Linha s^{0} e leitura da primeira coluna.\n
A última linha s^{0} contém simplesmente a_{0}:
s^{0}: \; a_{0}=-6.
Portanto a primeira coluna completa da tabela de Routh é, de cima para baixo,
1,\;4,\;2{,}5,\;-6.

Passo 6

Interpretação (contagem de mudanças de sinal) e conclusão.\n
Contar as mudanças de sinal ao descer a primeira coluna:
  • 1 para 4: sem mudança de sinal (positivo→positivo),
  • 4 para 2{,}5: sem mudança (positivo→positivo),
  • 2{,}5 para -6: há mudança de sinal (positivo→negativo).
Há exatamente 1 mudança de sinal na primeira coluna. Pelo critério de Routh, isso significa que existem 1 raiz de D(s) com parte real positiva. Logo o polinômio tem um pólo no semiplano direito e o sistema é instável.

Resposta

Instável (existe 1 pólo com parte real positiva).

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