A partir dos dados obtidos em cultivos contínuos (quimiostatos) em estado estacionário com a bactéria Streptomyces clavuligerus, fornecidos na tabela abaixo, para um reator de 5 L .
0,5
4,880
1,95
3,93
0,625
5,031
2,01
5,00
0,75
5,157
2,06
5,45
0,875
5,234
2,09
8,00
1
5,287
2,11
10,4
a) Estime os valores dos parâmetros
e
do modelo cinético de Monod.
b) Estime o valor do coeficiente de rendimento observado de substrato em células (
).
|
|
|
|
|
| 0,5 | 4,880 | 1,95 | 3,93 |
| 0,625 | 5,031 | 2,01 | 5,00 |
| 0,75 | 5,157 | 2,06 | 5,45 |
| 0,875 | 5,234 | 2,09 | 8,00 |
| 1 | 5,287 | 2,11 | 10,4 |
b) Estime o valor do coeficiente de rendimento observado de substrato em células (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) estimar os parâmetros do modelo de Monod:
e ; - (b) estimar o coeficiente de rendimento observado de substrato em células
.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
- Volume do reator:
. - Para cada experimento há a vazão
(L/h), a concentração de alimentação (g/L) — que será tratada como (substrato na alimentação) — a concentração de biomassa (g/L) — que é — e a concentração residual de substrato no reator (mg/L) — que é no reator. Os dados linha-a-linha são:
Observações importantes (não resolvo nada ainda): os
estão em
(vou convertê-los para
quando necessário); cada experimento está em estado estacionário, portanto no reator vale
, com
.
Passo 2
Ideia de método e fórmulas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Em um quimiostato em estado estacionário (crescimento balanceado) vale a igualdade entre taxa de crescimento específica
e a diluição :
onde
é a vazão de alimentação (
) e
é o volume do reator (
). Aqui
tem unidade
.
- O modelo de Monod relaciona
com a concentração de substrato dentro do reator:
onde
é a taxa máxima de crescimento (
) e
é a constante de semissaturação (mesmas unidades de
, aqui
).
- Em estado estacionário temos
, então os pares permitem ajustar a curva de Monod. Uma linearização conveniente é a inversa (analogia Lineweaver–Burk):
Se definirmos
e
, obtemos uma reta
com
Estimando
e
por regressão linear obtemos
e
.
- Para o rendimento observado
(massa de células formada por massa de substrato consumido), a balança de substrato no estado estacionário, desprezando manutenção e formação de outros produtos, é
Como
em regime estacionário, isso simplifica para
Observe que
,
e
devem estar na mesma unidade (usar
) para que
fique em
.
Passo 3
Calcular as diluições
(peguei
e
da tabela e do enunciado):
Com
:
Em regime estacionário usamos
, logo os valores de
correspondentes são esses mesmos.]
Passo 4
Converter os
(resíduo de substrato no reator) de
para
(peguei
da tabela):
Assim:
Passo 5
Montar a regressão linear usando a linearização inversa. Definir para cada ponto
Vou calcular
e
para cada par
(usei os
convertidos e
calculado):
Agora fazemos a regressão
por mínimos quadrados com
. As fórmulas são:
Calculei os somatórios (apresento os valores numéricos usados):
Aplicando as fórmulas:
Lembrando a interpretação dos coeficientes:
Passo 6
Calcular
e
a partir de
e
:
É útil também expressar
em
:
Breve interpretação prática:
é a taxa máxima de crescimento específica;
(ou
) é a concentração de substrato à qual
atinge metade de
.
Passo 7
Estimativa do rendimento observado
. Usei a relação simplificada em estado estacionário (peguei
,
e
da tabela e converti
para
):
Calculei
para cada experimento:
Os valores são muito próximos entre si; tomando média simples obtém-se
Resposta
(a)
(b)
(b)