A partir dos dados obtidos em cultivos contínuos (quimiostatos) em estado estacionário com a bactéria Streptomyces clavuligerus, fornecidos na tabela abaixo, para um reator de 5 L .
\mathrm{F}(\mathrm{L} / \mathrm{h}) \mathrm{C}_{\mathrm{SE}}(\mathrm{g} / \mathrm{L}) \mathrm{C}_{\mathrm{x}}(\mathrm{g} / \mathrm{L}) \mathrm{C}_{\mathrm{s}}(\mathrm{mg} / \mathrm{L})
0,5 4,880 1,95 3,93
0,625 5,031 2,01 5,00
0,75 5,157 2,06 5,45
0,875 5,234 2,09 8,00
1 5,287 2,11 10,4
a) Estime os valores dos parâmetros \mu_{\mathrm{m}} e \mathrm{K}_{\mathrm{S}} do modelo cinético de Monod.
b) Estime o valor do coeficiente de rendimento observado de substrato em células ( \mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) estimar os parâmetros do modelo de Monod: \mu_{\mathrm{m}} e K_{\mathrm{S}};
  • (b) estimar o coeficiente de rendimento observado de substrato em células \mathrm{Y}_{\mathrm{x/s}}.
Dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada):
  • Volume do reator: V = 5\\ \mathrm{L}.
  • Para cada experimento há a vazão F (L/h), a concentração de alimentação C_{SE} (g/L) — que será tratada como S_{\text{in}} (substrato na alimentação) — a concentração de biomassa C_x (g/L) — que é X — e a concentração residual de substrato no reator C_s (mg/L) — que é S no reator. Os dados linha-a-linha são:
\begin{array}{cccc} F\\ (\mathrm{L/h}) & S_{\text{in}}\\ (\mathrm{g/L}) & X\\ (\mathrm{g/L}) & S\\ (\mathrm{mg/L})\\hline 0{,}5 & 4{,}880 & 1{,}95 & 3{,}93\\\\ 0{,}625 & 5{,}031 & 2{,}01 & 5{,}00\\\\ 0{,}75 & 5{,}157 & 2{,}06 & 5{,}45\\\\ 0{,}875 & 5{,}234 & 2{,}09 & 8{,}00\\\\ 1 & 5{,}287 & 2{,}11 & 10{,}4 \end{array}
Observações importantes (não resolvo nada ainda): os C_s estão em \mathrm{mg/L} (vou convertê-los para \mathrm{g/L} quando necessário); cada experimento está em estado estacionário, portanto no reator vale \mu = D, com D = F/V.

Passo 2

Ideia de método e fórmulas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Em um quimiostato em estado estacionário (crescimento balanceado) vale a igualdade entre taxa de crescimento específica \mu e a diluição D:
\mu = D = \frac{F}{V},
onde F é a vazão de alimentação ( \mathrm{L/h}) e V é o volume do reator ( \mathrm{L}). Aqui \mu tem unidade \mathrm{h^{-1}}.
  • O modelo de Monod relaciona \mu com a concentração de substrato S dentro do reator:
\mu(S) = \mu_{\mathrm{m}}\frac{S}{K_{\mathrm{S}} + S},
onde \mu_{\mathrm{m}} é a taxa máxima de crescimento ( \mathrm{h^{-1}}) e K_{\mathrm{S}} é a constante de semissaturação (mesmas unidades de S, aqui \mathrm{g/L}).
  • Em estado estacionário temos \mu = D, então os pares (S,D) permitem ajustar a curva de Monod. Uma linearização conveniente é a inversa (analogia Lineweaver–Burk):
\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{\mathrm{m}}} + \frac{K_{\mathrm{S}}}{\mu_{\mathrm{m}}}\cdot\frac{1}{S}.
Se definirmos y=\dfrac{1}{\mu} e x=\dfrac{1}{S}, obtemos uma reta y = b + m x com
b=\frac{1}{\mu_{\mathrm{m}}},\qquad m=\frac{K_{\mathrm{S}}}{\mu_{\mathrm{m}}}.
Estimando m e b por regressão linear obtemos \mu_{\mathrm{m}} = 1/b e K_{\mathrm{S}} = m/b.
  • Para o rendimento observado \mathrm{Y}_{\mathrm{x/s}} (massa de células formada por massa de substrato consumido), a balança de substrato no estado estacionário, desprezando manutenção e formação de outros produtos, é
D\,(S_{\text{in}}-S) = \frac{\mu X}{Y_{\mathrm{x/s}}}.
Como \mu = D em regime estacionário, isso simplifica para
Y_{\mathrm{x/s}} = \frac{X}{S_{\text{in}}-S}.
Observe que X, S_{\text{in}} e S devem estar na mesma unidade (usar \mathrm{g/L}) para que Y_{\mathrm{x/s}} fique em \mathrm{g\\ biomassa/g\\ substrato}.

Passo 3

Calcular as diluições D (peguei F e V da tabela e do enunciado):
D=\frac{F}{V}.
Com V=5\\ \mathrm{L}:
\begin{array}{ll} F=0{,}5\\ \mathrm{L/h}\Rightarrow D=0{,}5/5=0{,}10\\ \mathrm{h^{-1}},\\[4pt] F=0{,}625\\ \mathrm{L/h}\Rightarrow D=0{,}625/5=0{,}125\\ \mathrm{h^{-1}},\\[4pt] F=0{,}75\\ \mathrm{L/h}\Rightarrow D=0{,}75/5=0{,}15\\ \mathrm{h^{-1}},\\[4pt] F=0{,}875\\ \mathrm{L/h}\Rightarrow D=0{,}875/5=0{,}175\\ \mathrm{h^{-1}},\\[4pt] F=1\\ \mathrm{L/h}\Rightarrow D=1/5=0{,}20\\ \mathrm{h^{-1}}. \end{array}
Em regime estacionário usamos \mu = D, logo os valores de \mu correspondentes são esses mesmos.]

Passo 4

Converter os C_s (resíduo de substrato no reator) de \mathrm{mg/L} para \mathrm{g/L} (peguei C_s da tabela):
S\\ (\mathrm{g/L})=\frac{C_s\\ (\mathrm{mg/L})}{1000}.
Assim:
\begin{array}{ll} 3{,}93\\ \mathrm{mg/L}\to 0{,}00393\\ \mathrm{g/L},\\\\ 5{,}00\\ \mathrm{mg/L}\to 0{,}00500\\ \mathrm{g/L},\\\\ 5{,}45\\ \mathrm{mg/L}\to 0{,}00545\\ \mathrm{g/L},\\\\ 8{,}00\\ \mathrm{mg/L}\to 0{,}00800\\ \mathrm{g/L},\\\\ 10{,}4\\ \mathrm{mg/L}\to 0{,}0104\\ \mathrm{g/L}. \end{array}

Passo 5

Montar a regressão linear usando a linearização inversa. Definir para cada ponto
x=\frac{1}{S}\quad\text{(L/g)},\qquad y=\frac{1}{\mu}\quad\text{(h)}.
Vou calcular x e y para cada par (S,\mu) (usei os S convertidos e \mu=D calculado):
\begin{array}{cccc} \text{linha} & S\\ (\mathrm{g/L}) & x=\dfrac{1}{S}\\ (\mathrm{L/g}) & y=\dfrac{1}{\mu}\\ (\mathrm{h})\\hline 1 & 0{,}00393 & 254{,}84 & 10{,}000\\[4pt] 2 & 0{,}00500 & 200{,}00 & 8{,}000\\[4pt] 3 & 0{,}00545 & 183{,}486 & 6{,}6667\\[4pt] 4 & 0{,}00800 & 125{,}00 & 5{,}7143\\[4pt] 5 & 0{,}0104 & 96{,}1538 & 5{,}000 \end{array}
Agora fazemos a regressão y = b + m x por mínimos quadrados com N=5. As fórmulas são:
m=\frac{N\sum x y - (\sum x)(\sum y)}{N\sum x^2 - (\sum x)^2},\qquad b=\frac{\sum y - m\sum x}{N}.
Calculei os somatórios (apresento os valores numéricos usados):
\begin{array}{l} \sum x \approx 859{,}480,\\[4pt] \sum y \approx 35{,}3810,\\[4pt] \sum x y \approx 6566{,}695,\\[4pt] \sum x^2 \approx 163481{,}091. \end{array}
Aplicando as fórmulas:
m \approx \frac{5\cdot 6566{,}695 - 859{,}480\cdot 35{,}3810}{5\cdot 163481{,}091 - (859{,}480)^2} \approx 0{,}03081.
b \approx \frac{35{,}3810 - 0{,}03081\cdot 859{,}480}{5} \approx 1{,}78008\\ \mathrm{h}.
Lembrando a interpretação dos coeficientes:
b=\frac{1}{\mu_{\mathrm{m}}}\quad\Rightarrow\quad \mu_{\mathrm{m}}=\frac{1}{b},
m=\frac{K_{\mathrm{S}}}{\mu_{\mathrm{m}}}\quad\Rightarrow\quad K_{\mathrm{S}}=m\cdot\mu_{\mathrm{m}}.]

Passo 6

Calcular \mu_{\mathrm{m}} e K_{\mathrm{S}} a partir de b e m:
\mu_{\mathrm{m}} = \frac{1}{b} \approx \frac{1}{1{,}78008}\\ \mathrm{h^{-1}} \approx 0{,}5616\\ \mathrm{h^{-1}}.
K_{\mathrm{S}} = m\cdot\mu_{\mathrm{m}} \approx 0{,}03081\times 0{,}5616\\ \mathrm{g/L}\approx 0{,}01730\\ \mathrm{g/L}.
É útil também expressar K_{\mathrm{S}} em \mathrm{mg/L}:
K_{\mathrm{S}} \approx 0{,}01730\\ \mathrm{g/L} = 17{,}30\\ \mathrm{mg/L}.
Breve interpretação prática: \mu_{\mathrm{m}}\approx 0{,}562\\ \mathrm{h^{-1}} é a taxa máxima de crescimento específica; K_{\mathrm{S}}\approx 0{,}0173\\ \mathrm{g/L} (ou 17{,}3\\ \mathrm{mg/L}) é a concentração de substrato à qual \mu atinge metade de \mu_{\mathrm{m}}.

Passo 7

Estimativa do rendimento observado \mathrm{Y}_{\mathrm{x/s}}. Usei a relação simplificada em estado estacionário (peguei X, S_{\text{in}} e S da tabela e converti S para \mathrm{g/L}):
Y_{\mathrm{x/s}}=\frac{X}{S_{\text{in}}-S}.
Calculei Y_{\mathrm{x/s}} para cada experimento:
\begin{array}{ll} \text{linha 1: } Y=\dfrac{1{,}95}{4{,}880-0{,}00393}=\dfrac{1{,}95}{4{,}87607}\approx 0{,}4000,\\[6pt] \text{linha 2: } Y=\dfrac{2{,}01}{5{,}031-0{,}00500}=\dfrac{2{,}01}{5{,}026}\approx 0{,}3996,\\[6pt] \text{linha 3: } Y=\dfrac{2{,}06}{5{,}157-0{,}00545}=\dfrac{2{,}06}{5{,}15155}\approx 0{,}3999,\\[6pt] \text{linha 4: } Y=\dfrac{2{,}09}{5{,}234-0{,}00800}=\dfrac{2{,}09}{5{,}226}\approx 0{,}3999,\\[6pt] \text{linha 5: } Y=\dfrac{2{,}11}{5{,}287-0{,}0104}=\dfrac{2{,}11}{5{,}2766}\approx 0{,}3998. \end{array}
Os valores são muito próximos entre si; tomando média simples obtém-se
Y_{\mathrm{x/s}}\approx 0{,}400\\ \mathrm{g\\ biomass/g\\ substrate}.]

Resposta

(a) \mu_{\mathrm{m}} \approx 0{,}562\\ \mathrm{h^{-1}},\quad K_{\mathrm{S}} \approx 0{,}0173\\ \mathrm{g/L}\\ (17{,}3\\ \mathrm{mg/L})
(b) \mathrm{Y}_{\mathrm{x/s}} \approx 0{,}400\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;substrato}

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