Considere os processos difusivos unidimensionais de transferência de momento linear (escoamento laminar incompressível), calor por condução e massa por difusão molecular. Compare: a) perfil de velocidade nos regimes transiente e permanente; b) perfil de temperatura nos regimes transiente e permanente; c) perfil de concentração nos regimes transiente e permanente; d) as equações que governam cada caso.

Passo 1

O que o enunciado pede (listei em linhas separadas para nada ficar perdido):
  • (a) Comparar o perfil de velocidade nos regimes transiente (tempo dependente) e permanente (estado estacionário).
  • (b) Comparar o perfil de temperatura nos regimes transiente e permanente.
  • (c) Comparar o perfil de concentração nos regimes transiente e permanente.
  • (d) Escrever as equações que governam cada caso (momentum linear unidimensional em escoamento laminar incompressível, condução de calor unidimensional, difusão molecular de massa unidimensional).
Informações relevantes implícitas no enunciado:
  • Todos os processos são unidimensionais e de natureza difusiva.
  • Para momento: escoamento laminar incompressível, “transferência de momento linear” sugere que estamos interessados na difusão de quantidade de movimento (viscosidade) sem complicar com efeitos turbulentos.
  • Para calor: condução (sem convecção) — processo puramente difusivo térmico.
  • Para massa: difusão molecular (Fickiana) — processo puramente difusivo de concentração.
  • Não foram dadas condições de contorno/iniciais específicas — então vou comparar os tipos típicos de perfil para cenários usuais: domínio semi-infinito com fronteira sujeita a uma mudança brusca (ex.: placa que começa a se mover ou a ser aquecida) e domínio finito com duas fronteiras impostas (ex.: parede a x=0 e x=L com temperaturas/concentrações fixas).

Passo 2

A ideia física comum e a equação “mãe” (intuição didática)
  • Intuição: todos esses processos espalham uma quantidade (velocidade/momento por viscosidade, temperatura por condução, concentração por difusão) de modo parecido: uma região perturbada influencia regiões vizinhas com o tempo por um processo que depende de uma propriedade difusiva (quanto maior essa propriedade, mais rápido a perturbação se espalha).
  • Forma geral unidimensional não conservativa (sem fonte) que descreve isso:
\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \Gamma \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2},
onde:
  • \varphi(x,t) é a quantidade difundida (no nosso caso: velocidade u, temperatura T ou concentração C);
  • \Gamma é a difusividade do processo (parâmetro que mede quão rápido a quantidade difunde).
  • Associação caso a caso:
    • Momento (velocidade): \varphi = u e \Gamma = \nu = \dfrac{\mu}{\rho} (viscosidade cinemática).
    • Calor (temperatura): \varphi = T e \Gamma = \alpha = \dfrac{k}{\rho c_p} (difusividade térmica).
    • Massa (concentração): \varphi = C e \Gamma = D (difusividade molecular).
  • Observação simples: se você resolver a equação acima para os três casos com as mesmas condições iniciais e de contorno, as soluções têm a mesma estrutura matemática, apenas a velocidade de difusão muda via \Gamma. Isso gera analogias diretas entre perfis de u,T,C.

Passo 3

Equações governantes (forma unidimensional, sem fontes, sem termos convectivos)
  • Para momento linear (assumindo escoamento unidirecional u(x,t), incompressível, sem termo convectivo significativo e sem gradiente de pressão impondo forçamento): a equação de difusão de momento é
\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
com \nu=\dfrac{\mu}{\rho}. Explicação das hipóteses: aqui se removeu o termo convectivo (u\partial u/\partial x) e forças de volume; isso é válido em problemas clássicos de difusão de momento (ex.: placa parada que, ao começar a mover, transfere velocidade para o fluido — “Stokes’ first problem”), ou em regimes de pequeno número de Reynolds local onde a difusão viscosa domina.
  • Para condução de calor (equação de calor unidimensional, sem geração interna):
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2},
com \alpha=\dfrac{k}{\rho c_p}. Aqui k é condutividade térmica, c_p calor específico a pressão constante.
  • Para difusão de massa (equação de Fick unidimensional):
\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2},
onde D é o coeficiente de difusão molecular.
  • Forma estacionária (regime permanente) para os três, ao anular \partial/\partial t, resulta em
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}=0
(se não houver fontes nem termos externos). Isso implica soluções lineares em x quando se impõem dois valores fixos em duas fronteiras. Atenção: no caso do momento, se houver um gradiente de pressão permanente (por exemplo escoamento de Poiseuille), a equação estacionária contém uma fonte efetiva e fica
\mu \frac{d^2 u}{d x^2} = \frac{dp}{dx},
cuja solução típica é parabólica (não linear).
  • Resumo prático: as três equações têm exatamente a mesma forma matemática (difusão). Diferem apenas pela difusividade física ( \nu,\alpha,D) e por possíveis termos forçantes (gradiente de pressão no momentum, geração de calor, reações na massa).

Passo 4

Perfis transientes: solução qualitativa e exemplos típicos
  • Caso clássico (semi-infinito): fronteira em x=0 sofre mudança instantânea de valor \varphi(0,t)=\phi_s a partir de t=0, domínio x>0 inicialmente \varphi(x,0)=\phi_0. A solução (forma fechada) = solução com variável de similaridade:
\varphi(x,t)=\phi_0 + (\phi_s-\phi_0)\,\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\Gamma t}}\right) \quad\text{ou equivalente com }\mathrm{erf},
onde \Gamma = \nu,\alpha ou D conforme o caso. Explicação: aparece a função erro porque a equação é reduzida a uma ODE em \eta=x/(2\sqrt{\Gamma t}) — isso captura a “penetração” da perturbação com o tempo.
  • Característica importante (para todos os três): a espessura da camada perturbada cresce com o tempo como
\delta(t)\sim \sqrt{\Gamma\,t}.
Significado prático: se \Gamma for maior, a perturbação alcança distâncias maiores no mesmo tempo.
  • Perfil qualitativo: no início ( t pequeno) a variação está confinada perto da fronteira; com o tempo a transição entre \phi_s e \phi_0 fica mais suave e se desloca para maiores x. A forma do perfil é monotônica e semelhante para u,T,C — só muda a escala com \Gamma.
  • Outro cenário (domínio finito 0<x<L com condições fixas nas duas paredes): a solução transiente se escreve como soma de modos (séries de senos/exponenciais):
\varphi(x,t)=\phi_{\text{steady}}(x) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \exp\!\left(-\Gamma \lambda_n^2 t\right)\sin(\lambda_n x),
onde os \lambda_n dependem das condições de contorno. Interpretação: cada modo decai exponencialmente com uma taxa \Gamma \lambda_n^2; portanto a vez do estado permanente é determinada pela decaimento desses expoentes — mais difusividade \Rightarrow decaimento mais rápido.
  • Exemplo físico (velocidade): Stokes’ first problem — placa em x=0 começa a mover com velocidade U; a velocidade do fluido para x>0 evolui segundo a solução erro-função com \Gamma=\nu.
  • Conclusão para transiente: todos têm perfis “suavizantes” que se alargam com \sqrt{\Gamma t}; diferenças quantitativas vêm de \Gamma e de condições de contorno.

Passo 5

Perfis permanentes (estado estacionário) — comparação entre os três casos
  • Caso sem fontes e sem força externa (condições típicas de contorno fixas nas fronteiras):
    • A equação estacionária é \dfrac{d^2\varphi}{dx^2}=0. Integração dá
    \varphi(x) = A x + B,ou seja, perfil linear entre duas fronteiras com valores fixos. Aplicação:
    • Temperatura: se T(0)=T_1 e T(L)=T_2, então T(x) é linear entre T_1 e T_2.
    • Concentração: idem para C(x).
    • Momento (velocidade): se não há gradiente de pressão e as condições são, por exemplo, velocidades impostas nas paredes (escoamento de Couette), a solução estacionária é linear (perfil de Couette: u(x)= linear).
  • Porém, caso do momento com gradiente de pressão permanente (escoamento em conduto, Poiseuille):
    • A equação estacionária balanceando viscosidade e gradiente de pressão é
    \mu \frac{d^2 u}{d x^2} = \frac{dp}{dx},e a solução típica é parabólica (perfil de Poiseuille). Portanto, para momento o estado permanente pode ser linear (Couette) ou parabólico (Poiseuille) dependendo do forçamento.
  • Resumo prático:
    • Temperatura permanente sem geração → perfil linear.
    • Concentração permanente sem geração → perfil linear.
    • Velocidade permanente → pode ser linear (bordas em movimento, sem pressão) ou parabólico (pressão impondo escoamento), ou outra forma se houver forças.

Passo 6

Comparação prática entre velocidade, temperatura e concentração — o que muda fisicamente e em provas
  • Difusividades relativas: compare \nu,\alpha,D usando números adimensionais:
    • Prandtl: \displaystyle Pr=\frac{\nu}{\alpha} — indica se a difusão de momento é mais rápida que a difusão térmica. Se Pr>1, momentum difunde mais rápido que calor (camada de velocidade mais espessa que a térmica); se Pr<1, calor difunde mais rápido.
    • Schmidt: \displaystyle Sc=\frac{\nu}{D} — compara diffusividade de momentum com a de massa. Se Sc\gg1, momentum difunde muito mais rápido que massa (camada de concentração fina).
  • Consequências:
    • Em regimes transientes, a espessura da camada térmica e da camada de concentração escala com \sqrt{\alpha t} e \sqrt{D t}. Assim, para líquidos (tipicamente Sc\gg1), a camada de concentração é muito mais fina que a camada de velocidade.
    • Em ar (Pr~0,7), a difusão térmica é comparável à de momento.
  • Em provas: quando pedirem comparar “quem alcança mais longe em dado tempo”, calcule as raizes \sqrt{\Gamma t} e compare; quando pedirem perfil no permanente, pense primeiro se existe fonte/gradiente de pressão — se não, a resposta padrão para T e C é “linear”; para u depende do problema (Couette linear, Poiseuille parabólica).

Passo 7

Como resolver rapidamente (receita de prova) — passo a passo prático
  1. Identifique a variável \varphi (u, T, C) e a difusividade \Gamma correspondente ( \nu,\alpha,D).
  2. Verifique hipóteses: domínio semi-infinito ou finito? Há gradiente de pressão ou fontes? Condições de contorno e iniciais.
  3. Se \partial/\partial t\neq0 e domínio semi-infinito com mudança na fronteira → pense em solução de similaridade com \eta=x/(2\sqrt{\Gamma t}) (erf/erfc) e use \delta\sim\sqrt{\Gamma t}.
  4. Se regime permanente ( \partial/\partial t=0) e sem fonte → solução da equação \dfrac{d^2\varphi}{dx^2}=0 → perfil linear entre fronteiras.
  5. Se momento e houver \dfrac{dp}{dx}\neq0 → resolva \mu \dfrac{d^2 u}{d x^2} = \dfrac{dp}{dx} → perfil parabólico.
  6. Use Pr e Sc para comparar escala entre camadas (útil para responder qual perfil é mais “fino” ou “espesso”).

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos para fixar (sem cálculo pesado)
  • Se \nu=10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}, \alpha=10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}, D=10^{-9}\,\mathrm{m^2/s} e t=1\,\mathrm{s}:
    • \delta_v\sim\sqrt{\nu t}\approx 10^{-3}\,\mathrm{m}.
    • \delta_T\sim\sqrt{\alpha t}\approx 3{,}2\times10^{-4}\,\mathrm{m}.
    • \delta_C\sim\sqrt{D t}\approx 3{,}2\times10^{-5}\,\mathrm{m}.
    • Interpretação: velocidade difunde mais (camada mais espessa), temperatura intermediária, concentração muito confinada — exatamente o que se espera quando Sc\gg1 e Pr\gg1.
  • Isso mostra como, embora as formas sejam análogas, a escala espacial e temporal muda bastante.

Resposta

(a) No transiente, o perfil de velocidade u(x,t) evolui segundo a equação difusiva \dfrac{\partial u}{\partial t}=\nu\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} e a penetração da perturbação cresce como \delta_v\sim\sqrt{\nu t}; frequentemente tem forma de função-erro (semi-infinito) ou soma de modos exponenciais (domínio finito). No permanente, se não houver gradiente de pressão e as velocidades nas paredes forem impostas (Couette) o perfil é linear; se houver gradiente de pressão permanente (Poiseuille) o perfil é parabólico.
(b) No transiente, o perfil de temperatura T(x,t) obedece \dfrac{\partial T}{\partial t}=\alpha\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, com penetração \delta_T\sim\sqrt{\alpha t} e soluções do tipo erro-função (semi-infinito) ou série modal (domínio finito). No permanente, sem geração interna, T(x) satisfaz \dfrac{d^2T}{dx^2}=0 → perfil linear entre as fronteiras impostas.
(c) No transiente, a concentração C(x,t) obedece \dfrac{\partial C}{\partial t}=D\dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2}, com penetração \delta_C\sim\sqrt{D t} e mesma estrutura de solução (erf/series). No permanente, sem fontes, C(x) satisfaz \dfrac{d^2C}{dx^2}=0 → perfil linear entre fronteiras; em presença de reações ou fontes a forma muda.
(d) Equações que governam cada caso (unidimensional, sem fontes, forma não estacionária):
\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\quad(\text{momento; }\nu=\mu/\rho),
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\quad(\text{calor; }\alpha=k/(\rho c_p)),
\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}\quad(\text{massa; }D\text{ coef. difusão}).ã

Exercícios relacionados