Considere os processos difusivos unidimensionais de transferência de momento linear (escoamento laminar incompressível), calor por condução e massa por difusão molecular. Compare: a) perfil de velocidade nos regimes transiente e permanente; b) perfil de temperatura nos regimes transiente e permanente; c) perfil de concentração nos regimes transiente e permanente; d) as equações que governam cada caso.
Passo 1
O que o enunciado pede (listei em linhas separadas para nada ficar perdido):
- (a) Comparar o perfil de velocidade nos regimes transiente (tempo dependente) e permanente (estado estacionário).
- (b) Comparar o perfil de temperatura nos regimes transiente e permanente.
- (c) Comparar o perfil de concentração nos regimes transiente e permanente.
- (d) Escrever as equações que governam cada caso (momentum linear unidimensional em escoamento laminar incompressível, condução de calor unidimensional, difusão molecular de massa unidimensional).
Informações relevantes implícitas no enunciado:
- Todos os processos são unidimensionais e de natureza difusiva.
- Para momento: escoamento laminar incompressível, “transferência de momento linear” sugere que estamos interessados na difusão de quantidade de movimento (viscosidade) sem complicar com efeitos turbulentos.
- Para calor: condução (sem convecção) — processo puramente difusivo térmico.
- Para massa: difusão molecular (Fickiana) — processo puramente difusivo de concentração.
- Não foram dadas condições de contorno/iniciais específicas — então vou comparar os tipos típicos de perfil para cenários usuais: domínio semi-infinito com fronteira sujeita a uma mudança brusca (ex.: placa que começa a se mover ou a ser aquecida) e domínio finito com duas fronteiras impostas (ex.: parede a x=0 e x=L com temperaturas/concentrações fixas).
Passo 2
A ideia física comum e a equação “mãe” (intuição didática)
- Intuição: todos esses processos espalham uma quantidade (velocidade/momento por viscosidade, temperatura por condução, concentração por difusão) de modo parecido: uma região perturbada influencia regiões vizinhas com o tempo por um processo que depende de uma propriedade difusiva (quanto maior essa propriedade, mais rápido a perturbação se espalha).
- Forma geral unidimensional não conservativa (sem fonte) que descreve isso:
onde:
-
é a quantidade difundida (no nosso caso: velocidade , temperatura ou concentração ); -
é a difusividade do processo (parâmetro que mede quão rápido a quantidade difunde). - Associação caso a caso:
- Momento (velocidade):
e (viscosidade cinemática). - Calor (temperatura):
e (difusividade térmica). - Massa (concentração):
e (difusividade molecular).
- Momento (velocidade):
- Observação simples: se você resolver a equação acima para os três casos com as mesmas condições iniciais e de contorno, as soluções têm a mesma estrutura matemática, apenas a velocidade de difusão muda via
. Isso gera analogias diretas entre perfis de .
Passo 3
Equações governantes (forma unidimensional, sem fontes, sem termos convectivos)
- Para momento linear (assumindo escoamento unidirecional
, incompressível, sem termo convectivo significativo e sem gradiente de pressão impondo forçamento): a equação de difusão de momento é
com
. Explicação das hipóteses: aqui se removeu o termo convectivo
e forças de volume; isso é válido em problemas clássicos de difusão de momento (ex.: placa parada que, ao começar a mover, transfere velocidade para o fluido — “Stokes’ first problem”), ou em regimes de pequeno número de Reynolds local onde a difusão viscosa domina.
- Para condução de calor (equação de calor unidimensional, sem geração interna):
com
. Aqui
é condutividade térmica,
calor específico a pressão constante.
- Para difusão de massa (equação de Fick unidimensional):
onde
é o coeficiente de difusão molecular.
- Forma estacionária (regime permanente) para os três, ao anular
, resulta em
(se não houver fontes nem termos externos). Isso implica soluções lineares em
quando se impõem dois valores fixos em duas fronteiras. Atenção: no caso do momento, se houver um gradiente de pressão permanente (por exemplo escoamento de Poiseuille), a equação estacionária contém uma fonte efetiva e fica
cuja solução típica é parabólica (não linear).
- Resumo prático: as três equações têm exatamente a mesma forma matemática (difusão). Diferem apenas pela difusividade física (
) e por possíveis termos forçantes (gradiente de pressão no momentum, geração de calor, reações na massa).
Passo 4
Perfis transientes: solução qualitativa e exemplos típicos
- Caso clássico (semi-infinito): fronteira em
sofre mudança instantânea de valor a partir de , domínio inicialmente . A solução (forma fechada) = solução com variável de similaridade:
onde
=
ou
conforme o caso. Explicação: aparece a função erro porque a equação é reduzida a uma ODE em
— isso captura a “penetração” da perturbação com o tempo.
- Característica importante (para todos os três): a espessura da camada perturbada cresce com o tempo como
Significado prático: se
for maior, a perturbação alcança distâncias maiores no mesmo tempo.
- Perfil qualitativo: no início (
pequeno) a variação está confinada perto da fronteira; com o tempo a transição entre e fica mais suave e se desloca para maiores . A forma do perfil é monotônica e semelhante para — só muda a escala com . - Outro cenário (domínio finito
com condições fixas nas duas paredes): a solução transiente se escreve como soma de modos (séries de senos/exponenciais):
onde os
dependem das condições de contorno. Interpretação: cada modo decai exponencialmente com uma taxa
; portanto a vez do estado permanente é determinada pela decaimento desses expoentes — mais difusividade
decaimento mais rápido.
- Exemplo físico (velocidade): Stokes’ first problem — placa em
começa a mover com velocidade ; a velocidade do fluido para evolui segundo a solução erro-função com . - Conclusão para transiente: todos têm perfis “suavizantes” que se alargam com
; diferenças quantitativas vêm de e de condições de contorno.
Passo 5
Perfis permanentes (estado estacionário) — comparação entre os três casos
- Caso sem fontes e sem força externa (condições típicas de contorno fixas nas fronteiras):
- A equação estacionária é
. Integração dá
ou seja, perfil linear entre duas fronteiras com valores fixos. Aplicação: - Temperatura: se
e , então é linear entre e . - Concentração: idem para
. - Momento (velocidade): se não há gradiente de pressão e as condições são, por exemplo, velocidades impostas nas paredes (escoamento de Couette), a solução estacionária é linear (perfil de Couette:
linear).
- A equação estacionária é
- Porém, caso do momento com gradiente de pressão permanente (escoamento em conduto, Poiseuille):
- A equação estacionária balanceando viscosidade e gradiente de pressão é
e a solução típica é parabólica (perfil de Poiseuille). Portanto, para momento o estado permanente pode ser linear (Couette) ou parabólico (Poiseuille) dependendo do forçamento. - Resumo prático:
- Temperatura permanente sem geração → perfil linear.
- Concentração permanente sem geração → perfil linear.
- Velocidade permanente → pode ser linear (bordas em movimento, sem pressão) ou parabólico (pressão impondo escoamento), ou outra forma se houver forças.
Passo 6
Comparação prática entre velocidade, temperatura e concentração — o que muda fisicamente e em provas
- Difusividades relativas: compare
usando números adimensionais: - Prandtl:
— indica se a difusão de momento é mais rápida que a difusão térmica. Se , momentum difunde mais rápido que calor (camada de velocidade mais espessa que a térmica); se , calor difunde mais rápido. - Schmidt:
— compara diffusividade de momentum com a de massa. Se , momentum difunde muito mais rápido que massa (camada de concentração fina).
- Prandtl:
- Consequências:
- Em regimes transientes, a espessura da camada térmica e da camada de concentração escala com
e . Assim, para líquidos (tipicamente ), a camada de concentração é muito mais fina que a camada de velocidade. - Em ar (Pr~0,7), a difusão térmica é comparável à de momento.
- Em regimes transientes, a espessura da camada térmica e da camada de concentração escala com
- Em provas: quando pedirem comparar “quem alcança mais longe em dado tempo”, calcule as raizes
e compare; quando pedirem perfil no permanente, pense primeiro se existe fonte/gradiente de pressão — se não, a resposta padrão para e é “linear”; para depende do problema (Couette linear, Poiseuille parabólica).
Passo 7
Como resolver rapidamente (receita de prova) — passo a passo prático
- Identifique a variável
(u, T, C) e a difusividade correspondente ( ). - Verifique hipóteses: domínio semi-infinito ou finito? Há gradiente de pressão ou fontes? Condições de contorno e iniciais.
- Se
e domínio semi-infinito com mudança na fronteira → pense em solução de similaridade com (erf/erfc) e use . - Se regime permanente (
) e sem fonte → solução da equação → perfil linear entre fronteiras. - Se momento e houver
→ resolva → perfil parabólico. - Use
e para comparar escala entre camadas (útil para responder qual perfil é mais “fino” ou “espesso”).
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos para fixar (sem cálculo pesado)
- Se
, , e : -
. -
. -
. - Interpretação: velocidade difunde mais (camada mais espessa), temperatura intermediária, concentração muito confinada — exatamente o que se espera quando
e .
-
- Isso mostra como, embora as formas sejam análogas, a escala espacial e temporal muda bastante.
Resposta
(a) No transiente, o perfil de velocidade
evolui segundo a equação difusiva
e a penetração da perturbação cresce como
; frequentemente tem forma de função-erro (semi-infinito) ou soma de modos exponenciais (domínio finito). No permanente, se não houver gradiente de pressão e as velocidades nas paredes forem impostas (Couette) o perfil é linear; se houver gradiente de pressão permanente (Poiseuille) o perfil é parabólico.
(b) No transiente, o perfil de temperatura obedece
, com penetração
e soluções do tipo erro-função (semi-infinito) ou série modal (domínio finito). No permanente, sem geração interna,
satisfaz
→ perfil linear entre as fronteiras impostas.
(c) No transiente, a concentração obedece
, com penetração
e mesma estrutura de solução (erf/series). No permanente, sem fontes,
satisfaz
→ perfil linear entre fronteiras; em presença de reações ou fontes a forma muda.
(d) Equações que governam cada caso (unidimensional, sem fontes, forma não estacionária):
(b) No transiente, o perfil de temperatura
(c) No transiente, a concentração
(d) Equações que governam cada caso (unidimensional, sem fontes, forma não estacionária):