3 (Movimento em duas dimensões). O vetor posição de uma partícula que se move no plano x y é dado por:
\vec{r}=\left(\frac{2}{5} t^{3}-\frac{3}{5} t^{2}\right) \hat{i}+\frac{1}{6} t^{4} \hat{j}
\vec{r} é dado em metros e t em segundos.
Determine o vetor deslocamento entre os instantes 3 s e 5 s.

Passo 1

Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que ele pede (só informações, sem resolver nada ainda).
  • O enunciado fornece o vetor posição da partícula no plano xy:
\vec{r}(t)=\left(\frac{2}{5}t^{3}-\frac{3}{5}t^{2}\right)\hat{i}+\frac{1}{6}t^{4}\,\hat{j},
onde \vec{r} está em \text{m} e t em \text{s}.
  • O enunciado pede: determinar o vetor deslocamento entre os instantes 3\\ \text{s} e 5\\ \text{s}.
Informações numéricas que vamos usar:
  • instante inicial: t_1=3\\ \text{s};
  • instante final: t_2=5\\ \text{s}.

Passo 2

Conceito-chave: deslocamento vetorial entre dois instantes.
  • Definição: o vetor deslocamento entre t_1 e t_2 é a diferença entre as posições nos dois instantes:
\Delta\vec{r}=\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1).
  • Como trabalhar com vetores em componentes: se
\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j},
então
\Delta\vec{r}=\big(x(t_2)-x(t_1)\big)\,\hat{i}+\big(y(t_2)-y(t_1)\big)\,\hat{j}.
Ou seja: subtrai-se componente a componente — a componente x do final menos a do início, e o mesmo para y.
Vou aplicar isso direto ao nosso caso: identificar x(t) e y(t) e calcular x(5),x(3),y(5),y(3).

Passo 3

Identificar as componentes e calcular \vec{r}(5).
  • A componente x(t) é
x(t)=\frac{2}{5}t^{3}-\frac{3}{5}t^{2}.
  • A componente y(t) é
y(t)=\frac{1}{6}t^{4}.
Calcular x(5):
x(5)=\frac{2}{5}\cdot 5^{3}-\frac{3}{5}\cdot 5^{2}.
Avaliar os potências e fatores:
5^{3}=125,\qquad 5^{2}=25,
então
x(5)=\frac{2}{5}\cdot 125-\frac{3}{5}\cdot 25=\frac{250}{5}-\frac{75}{5}=\frac{175}{5}=35.
Logo x(5)=35\\ \text{m}.
Calcular y(5):
y(5)=\frac{1}{6}\cdot 5^{4}.
Como 5^{4}=625, temos
y(5)=\frac{625}{6}.
Logo y(5)=\dfrac{625}{6}\\ \text{m} (que em decimal é aproximadamente 104{,}166\ldots\\ \text{m}).
Portanto
\vec{r}(5)=35\,\hat{i}+\frac{625}{6}\,\hat{j}\\ \text{(m)}.

Passo 4

Calcular \vec{r}(3).
Calcular x(3):
x(3)=\frac{2}{5}\cdot 3^{3}-\frac{3}{5}\cdot 3^{2}.
Como 3^{3}=27 e 3^{2}=9, temos
x(3)=\frac{2}{5}\cdot 27-\frac{3}{5}\cdot 9=\frac{54}{5}-\frac{27}{5}=\frac{27}{5}.
Em decimal, \dfrac{27}{5}=5{,}4\\ \text{m}.
Calcular y(3):
y(3)=\frac{1}{6}\cdot 3^{4}.
Como 3^{4}=81, então
y(3)=\frac{81}{6}=\frac{27}{2}.
Em decimal, \dfrac{27}{2}=13{,}5\\ \text{m}.
Portanto
\vec{r}(3)=\frac{27}{5}\,\hat{i}+\frac{81}{6}\,\hat{j}\\ \text{(m)}.

Passo 5

Fazer a subtração componente a componente para obter o deslocamento.
Usando a fórmula
\Delta\vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(3),
temos para a componente x:
\Delta x = x(5)-x(3)=35-\frac{27}{5}.
Colocando na mesma fração:
35=\frac{175}{5}\quad\Rightarrow\quad \Delta x=\frac{175}{5}-\frac{27}{5}=\frac{148}{5}.
Então \Delta x=\dfrac{148}{5}\\ \text{m} (ou 29{,}6\\ \text{m}).
Para a componente y:
\Delta y = y(5)-y(3)=\frac{625}{6}-\frac{81}{6}=\frac{625-81}{6}=\frac{544}{6}.
Simplificando \dfrac{544}{6} dividindo por 2:
\Delta y=\frac{272}{3}\\ \text{m}
(ou em decimal 90{,}666\ldots\\ \text{m}).

Passo 6

Escrever o vetor deslocamento final em notação vetorial e comentar unidades.
  • Em notação com versores:
\Delta\vec{r}=\frac{148}{5}\,\hat{i}+\frac{272}{3}\,\hat{j}\\ \text{(m)}.
  • Se preferir ver em decimais aproximados:
\Delta\vec{r}\approx 29{,}6\,\hat{i}+90{,}666\ldots\,\hat{j}\\ \text{(m)}.
Observação rápida e útil: o deslocamento é independente do caminho; é apenas a diferença entre as posições nos instantes dados. Aqui foi só avaliar funções polinomiais e subtrair componentes.

Resposta

\displaystyle \Delta\vec{r}=\frac{148}{5}\,\hat{i}+\frac{272}{3}\,\hat{j}\\ \text{m}

Exercícios relacionados