Considere o produto interno em \mathbb{R}^{3} dado por
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+4 z_{1} z_{2}
Determinar em relação a esse produto interno, um vetor unitário e simultaneamente ortogonal aos vetores u=(1,-1,2) e v=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário w\in\mathbb{R}^3 que seja ortogonal aos vetores
u = (1,-1,2), \quad v = (2,1,0)
em relação ao produto interno
\big\langle(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\big\rangle =2x_1x_2 + y_1y_2 + 4z_1z_2.
Vamos usar as condições de ortogonalidade \langle u,w\rangle=0, \langle v,w\rangle=0
e depois normalizar w impondo \langle w,w\rangle=1.

Passo 2

Seja w=(w_1,w_2,w_3). As duas condições de ortogonalidade dão
\langle u,w\rangle = 2\cdot1\cdot w_1 + (-1)\cdot w_2 + 4\cdot2\cdot w_3 = 2w_1 - w_2 +8w_3 =0,
\langle v,w\rangle = 2\cdot2\cdot w_1 + 1\cdot w_2 + 4\cdot0\cdot w_3 = 4w_1 + w_2 =0.

Passo 3

Da segunda equação segue
w_2 = -4w_1.
Substituindo na primeira:
2w_1 -(-4w_1) + 8w_3 = 6w_1 + 8w_3 = 0 \;\Longrightarrow\; 3w_1 +4w_3 =0 \;\Longrightarrow\; w_3 = -\tfrac{3}{4}w_1.
Logo
w = w_1\bigl(1,\,-4,\,-\tfrac{3}{4}\bigr).

Passo 4

Para evitar frações, escolhemos w_1=4. Assim
w = (4,\,-16,\,-3).

Passo 5

Calculamos a norma ao quadrado:
\langle w,w\rangle =2\cdot4^2 + (-16)^2 + 4\cdot(-3)^2 =2\cdot16 +256 +4\cdot9 =32 +256 +36 =324
e portanto \|w\| = \sqrt{324} = 18.

Passo 6

A versão unitária é
\frac{w}{\|w\|} = \frac{1}{18}(4,\,-16,\,-3) = \Bigl(\tfrac{2}{9},\,-\tfrac{8}{9},\,-\tfrac{1}{6}\Bigr).

Resposta

\Bigl(\tfrac{2}{9},\,-\tfrac{8}{9},\,-\tfrac{1}{6}\Bigr).

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