Seja V=M_{2}(\mathbb{R}) munido do produto interno usual. Determinar x de modo que A_{1}= \left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 5 & x\end{array}\right) e A_{2}=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno usual, isto é, para A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M_{2}(\mathbb{R}) vale
\langle A, B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}\,b_{ij}.
Ele pede o valor de x tal que
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 5 & x\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A_{2}=\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 1 & -1\end{pmatrix}
sejam ortogonais, ou seja, \langle A_{1},A_{2}\rangle=0.

Passo 2

Aplicamos a definição do produto interno para calcular
\langle A_{1},A_{2}\rangle =1\cdot3 +(-2)\cdot2 +5\cdot1 + x\cdot(-1).
Aqui estamos apenas somando o produto de cada entrada correspondente.

Passo 3

Simplificando a soma temos
\langle A_{1},A_{2}\rangle =3 - 4 + 5 - x =4 - x.
Para que A_{1} e A_{2} sejam ortogonais, precisamos de \langle A_{1},A_{2}\rangle=0.

Passo 4

Logo, basta resolver
4 - x = 0
que dá
x = 4.

Resposta

x=4

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