Considere o produto interno usual e verifique se os conjuntos dados são ortogonais. É ortonormal? Caso não seja, por meio do processo de normalização obtenha um conjunto ortonormal.
\{(1,0,0),(0,1 / \sqrt{2},-1 / \sqrt{2}),(0,1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2})\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
\{(1,0,0),\;(0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}),\;(0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\}
e pede:
  1. verificar se o conjunto é ortogonal (isto é, se os vetores são mutuamente perpendiculares com respeito ao produto interno usual);\n
  2. responder se é ortonormal (isto é, ortogonal e com vetores de norma 1);\n
  3. caso não seja ortonormal, aplicar o processo de normalização para obter um conjunto ortonormal.
Anotei os vetores para facilitar: v_{1}=(1,0,0), v_{2}=(0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}), v_{3}=(0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto interno usual e como testamos ortogonalidade, explicando passo a passo como você faria na prova.
O produto interno usual em \mathbb{R}^{3} entre dois vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) é dado por
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
Aqui cada x_{i} e y_{i} é a i-ésima componente dos vetores. Dois vetores são ortogonais se e somente se \langle x,y\rangle = 0.
Na prova você calcula os produtos internos par a par. Se todos derem zero, o conjunto é ortogonal. Depois verifica as normas: a norma de x é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}.
Se todas as normas forem \,1, o conjunto é ortonormal. Se alguma norma não for 1, você normaliza dividindo o vetor por sua norma: o vetor normalizado é \,x/\|x\|.

Passo 3

Calculo de \langle v_{1},v_{2}\rangle.
Escrevendo as componentes:
v_{1}=(1,0,0),\qquad v_{2}=(0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}).
Aplicando a fórmula do produto interno:
\langle v_{1},v_{2}\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 0\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Fazendo as multiplicações e somas:
\langle v_{1},v_{2}\rangle = 0 + 0 + 0 = 0.
Portanto v_{1} é ortogonal a v_{2}.

Passo 4

Calculo de \langle v_{1},v_{3}\rangle.
Escrevendo as componentes:
v_{3}=(0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}).
Produto interno:
\langle v_{1},v_{3}\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 0\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\langle v_{1},v_{3}\rangle = 0+0+0 = 0.
Portanto v_{1} é ortogonal a v_{3}.

Passo 5

Calculo de \langle v_{2},v_{3}\rangle.
Usando as componentes:
\langle v_{2},v_{3}\rangle = 0\cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.
Calculando cada termo:
0\cdot 0 = 0,\qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2},\qquad -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}.
Somando:
\langle v_{2},v_{3}\rangle = 0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.
Portanto v_{2} é ortogonal a v_{3}.

Passo 6

Conclusão sobre ortogonalidade.
Como \langle v_{1},v_{2}\rangle=0, \langle v_{1},v_{3}\rangle=0 e \langle v_{2},v_{3}\rangle=0, todos os pares de vetores são ortogonais. Logo o conjunto é ortogonal.

Passo 7

Verificação das normas (para checar ortonormalidade).
Calculo de \|v_{1}\|:
\|v_{1}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}=1.
Calculo de \|v_{2}\|:
\|v_{2}\|=\sqrt{0^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}} =\sqrt{0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Calculo de \|v_{3}\|:
\|v_{3}\|=\sqrt{0^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}} =\sqrt{0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Todas as normas são \,1.

Passo 8

Conclusão sobre ortonormalidade e processo de normalização (explicação prática).
Tendo verificado que os vetores são mutuamente ortogonais e que cada vetor tem norma \,1, o conjunto é ortonormal já. Sobre o processo de normalização em geral: se algum vetor w tivesse norma diferente de \,1, o vetor normalizado seria \,w/\|w\|; nesse caso específico como \|v_{i}\|=1 para todo i, dividir por \|v_{i}\| não altera os vetores.

Resposta

O conjunto é ortogonal: Sim.
O conjunto é ortonormal: Sim.
Um conjunto ortonormal obtido (o próprio conjunto) é \{(1,0,0),\;(0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}),\;(0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\}.

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