Considere o produto interno usual e verifique se os conjuntos dados são ortogonais. É ortonormal? Caso não seja, por meio do processo de normalização obtenha um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores
e pede:
- verificar se o conjunto é ortogonal (isto é, se os vetores são mutuamente perpendiculares com respeito ao produto interno usual);\n
- responder se é ortonormal (isto é, ortogonal e com vetores de norma
);\n - caso não seja ortonormal, aplicar o processo de normalização para obter um conjunto ortonormal.
Anotei os vetores para facilitar:
,
,
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o produto interno usual e como testamos ortogonalidade, explicando passo a passo como você faria na prova.
O produto interno usual em
entre dois vetores
e
é dado por
Aqui cada
e
é a i-ésima componente dos vetores. Dois vetores são ortogonais se e somente se
.
Na prova você calcula os produtos internos par a par. Se todos derem zero, o conjunto é ortogonal. Depois verifica as normas: a norma de
é
Se todas as normas forem
, o conjunto é ortonormal. Se alguma norma não for
, você normaliza dividindo o vetor por sua norma: o vetor normalizado é
.
Passo 3
Calculo de
.
Escrevendo as componentes:
Aplicando a fórmula do produto interno:
Fazendo as multiplicações e somas:
Portanto
é ortogonal a
.
Passo 4
Calculo de
.
Escrevendo as componentes:
Produto interno:
Logo
Portanto
é ortogonal a
.
Passo 5
Calculo de
.
Usando as componentes:
Calculando cada termo:
Somando:
Portanto
é ortogonal a
.
Passo 6
Conclusão sobre ortogonalidade.
Como
,
e
, todos os pares de vetores são ortogonais. Logo o conjunto é ortogonal.
Passo 7
Verificação das normas (para checar ortonormalidade).
Calculo de
:
Calculo de
:
Calculo de
:
Todas as normas são
.
Passo 8
Conclusão sobre ortonormalidade e processo de normalização (explicação prática).
Tendo verificado que os vetores são mutuamente ortogonais e que cada vetor tem norma
, o conjunto é ortonormal já. Sobre o processo de normalização em geral: se algum vetor
tivesse norma diferente de
, o vetor normalizado seria
; nesse caso específico como
para todo
, dividir por
não altera os vetores.
Resposta
O conjunto é ortogonal: Sim.
O conjunto é ortonormal: Sim.
Um conjunto ortonormal obtido (o próprio conjunto) é .
O conjunto é ortonormal: Sim.
Um conjunto ortonormal obtido (o próprio conjunto) é