Considere o produto interno usual e verifique se os conjuntos dados são ortogonais. É ortonormal? Caso não seja, por meio do processo de normalização obtenha um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado pede: verificar se o conjunto
é ortogonal e se é ortonormal; caso não seja ortonormal, obter um conjunto ortonormal por normalização.
Informações dadas (os vetores do conjunto):
Informações dadas (os vetores do conjunto):
Passo 2
Definições e ferramenta que vamos usar (explicadinha, sem pressa):
A forma usual de produto interno em (também chamado produto escalar ou “dot product”) entre dois vetores
e
é
A forma usual de produto interno em
Dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é
.
A norma (comprimento) de um vetor é
A norma (comprimento) de um vetor
Um conjunto é ortonormal se é ortogonal e todos os vetores têm norma
.
Observação prática: para verificar ortogonalidade calculamos os produtos escalares entre pares; se todos forem zero (e os vetores não nulos), o conjunto é ortogonal. Para tornar ortonormal um conjunto já ortogonal basta dividir cada vetor pelo seu comprimento (normalização).
Observação prática: para verificar ortogonalidade calculamos os produtos escalares entre pares; se todos forem zero (e os vetores não nulos), o conjunto é ortogonal. Para tornar ortonormal um conjunto já ortogonal basta dividir cada vetor pelo seu comprimento (normalização).
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Conclusão:
é ortogonal a
.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Conclusão:
é ortogonal a
.
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Conclusão:
é ortogonal a
.
Passo 6
Como todos os produtos internos entre pares são
, o conjunto é ortogonal (e, além disso, os vetores não são o vetor nulo). Agora verificamos normas para saber se é ortonormal. Calculemos as normas:
Nenhuma das normas é
, portanto o conjunto não é ortonormal.
Passo 7
Como o conjunto já é ortogonal, a maneira mais direta de obter um conjunto ortonormal é normalizar cada vetor: dividir cada
pela sua norma para obter
. Vamos calcular explicitamente cada vetor normalizado:
Rápida verificação mental: dividir por escala não altera ortogonalidade, então
para
; e por construção
. Logo
é ortonormal.
Resposta
Ortogonal: Sim.
Ortonormal: Não.
Conjunto ortonormal:
Ortonormal: Não.
Conjunto ortonormal: