Considere o produto interno usual e verifique se os conjuntos dados são ortogonais. É ortonormal? Caso não seja, por meio do processo de normalização obtenha um conjunto ortonormal.
\{(1,2,-1),(-1,1,1),(3,0,3)\}

Passo 1

O enunciado pede: verificar se o conjunto \{(1,2,-1),(-1,1,1),(3,0,3)\} é ortogonal e se é ortonormal; caso não seja ortonormal, obter um conjunto ortonormal por normalização.
Informações dadas (os vetores do conjunto):
\;v_1=(1,2,-1)
\;v_2=(-1,1,1)
\;v_3=(3,0,3)

Passo 2

Definições e ferramenta que vamos usar (explicadinha, sem pressa):
A forma usual de produto interno em \mathbb{R}^3 (também chamado produto escalar ou “dot product”) entre dois vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3) é
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
Dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é 0.
A norma (comprimento) de um vetor v é
\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Um conjunto é ortonormal se é ortogonal e todos os vetores têm norma 1.
Observação prática: para verificar ortogonalidade calculamos os produtos escalares entre pares; se todos forem zero (e os vetores não nulos), o conjunto é ortogonal. Para tornar ortonormal um conjunto já ortogonal basta dividir cada vetor pelo seu comprimento (normalização).

Passo 3

Calcular \langle v_1,v_2\rangle passo a passo:
\langle v_1,v_2\rangle = 1\cdot(-1) + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 = -1 + 2 -1 = 0.
Conclusão: v_1 é ortogonal a v_2.

Passo 4

Calcular \langle v_1,v_3\rangle passo a passo:
\langle v_1,v_3\rangle = 1\cdot3 + 2\cdot0 + (-1)\cdot3 = 3 + 0 - 3 = 0.
Conclusão: v_1 é ortogonal a v_3.

Passo 5

Calcular \langle v_2,v_3\rangle passo a passo:
\langle v_2,v_3\rangle = (-1)\cdot3 + 1\cdot0 + 1\cdot3 = -3 + 0 + 3 = 0.
Conclusão: v_2 é ortogonal a v_3.

Passo 6

Como todos os produtos internos entre pares são 0, o conjunto é ortogonal (e, além disso, os vetores não são o vetor nulo). Agora verificamos normas para saber se é ortonormal. Calculemos as normas:
\|v_1\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
\|v_2\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},
\|v_3\|=\sqrt{3^2+0^2+3^2}=\sqrt{9+0+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Nenhuma das normas é 1, portanto o conjunto não é ortonormal.

Passo 7

Como o conjunto já é ortogonal, a maneira mais direta de obter um conjunto ortonormal é normalizar cada vetor: dividir cada v_i pela sua norma para obter u_i = v_i/\|v_i\|. Vamos calcular explicitamente cada vetor normalizado:
u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right),
u_2=\frac{v_2}{\|v_2\|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),
u_3=\frac{v_3}{\|v_3\|}=\frac{1}{3\sqrt{2}}(3,0,3)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Rápida verificação mental: dividir por escala não altera ortogonalidade, então \langle u_i,u_j\rangle=0 para i\neq j; e por construção \|u_i\|=1. Logo \{u_1,u_2,u_3\} é ortonormal.

Resposta

Ortogonal: Sim.
Ortonormal: Não.
Conjunto ortonormal: \left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

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