Considere o produto interno usual. Determine \operatorname{proj}_{u} v e o tamanho da “sombra” de v sobre u, onde: u=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 5 & 0\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes u e v e pede duas coisas: (1) a projeção de v sobre u, isto é \operatorname{proj}_{u} v; (2) o tamanho (norma) da “sombra” de v sobre u, isto é a norma do vetor projetado \operatorname{proj}_{u} v. As matrizes fornecidas são:
Vamos lembrar a fórmula que usamos aqui (explicação passo a passo). O “produto interno usual” entre duas matrizes A e B de mesma dimensão é o produto interno de Frobenius:
Isso significa: multiplico termo a termo e somo todos os resultados. A projeção de v sobre u é dada pela fórmula (essa é a versão da projeção em qualquer espaço com produto interno):
Aqui \langle v,u\rangle é um número (escalar) e \langle u,u\rangle=\|u\|^{2} é o quadrado da norma de u. A norma de um vetor (ou matriz neste espaço) é \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}.
Passo 3
Calculemos \langle v,u\rangle aplicando a definição: multiplicar termo a termo e somar.