Considere o produto interno usual. Determine \operatorname{proj}_{u} v e o tamanho da “sombra” de v sobre u, onde:
u=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 5 & 0\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes u e v e pede duas coisas: (1) a projeção de v sobre u, isto é \operatorname{proj}_{u} v; (2) o tamanho (norma) da “sombra” de v sobre u, isto é a norma do vetor projetado \operatorname{proj}_{u} v. As matrizes fornecidas são:
u=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Nada mais é pedido.]

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos aqui (explicação passo a passo). O “produto interno usual” entre duas matrizes A e B de mesma dimensão é o produto interno de Frobenius:
\langle A,B\rangle=\sum_{i,j} A_{ij}B_{ij}=\operatorname{tr}(A^{T}B).
Isso significa: multiplico termo a termo e somo todos os resultados. A projeção de v sobre u é dada pela fórmula (essa é a versão da projeção em qualquer espaço com produto interno):
\operatorname{proj}_{u} v=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle v,u\rangle é um número (escalar) e \langle u,u\rangle=\|u\|^{2} é o quadrado da norma de u. A norma de um vetor (ou matriz neste espaço) é \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}.

Passo 3

Calculemos \langle v,u\rangle aplicando a definição: multiplicar termo a termo e somar.
\langle v,u\rangle = (3)(1) + (2)(-2) + (1)(5) + (-1)(0).
Agora faço as contas passo a passo:
(3)(1)=3,\quad (2)(-2)=-4,\quad (1)(5)=5,\quad (-1)(0)=0.
Somando:
\langle v,u\rangle = 3-4+5+0 = 4.

Passo 4

Calculemos \langle u,u\rangle, que é a soma dos quadrados das entradas de u:
\langle u,u\rangle = 1^{2} + (-2)^{2} + 5^{2} + 0^{2}.
Fazendo as contas:
1^{2}=1,\quad (-2)^{2}=4,\quad 5^{2}=25,\quad 0^{2}=0,
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\langle u,u\rangle = 1+4+25+0 = 30.
Portanto a norma de u é
\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}=\sqrt{30}.

Passo 5

Usando a fórmula da projeção com os valores encontrados:
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u = \frac{4}{30}\,u = \frac{2}{15}\,u.
Agora multiplico o escalar \frac{2}{15} pela matriz u:
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{2}{15}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]5 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{15} & -\dfrac{4}{15}\\[8pt]\dfrac{10}{15} & 0\end{pmatrix}.
Simplificando \dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}, obtemos
\operatorname{proj}_{u} v = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{15} & -\dfrac{4}{15}\\[6pt]\dfrac{2}{3} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora o tamanho (norma) da sombra: podemos usar a fórmula direta
\big\|\operatorname{proj}_{u} v\big\| = \frac{|\langle v,u\rangle|}{\|u\|}.
Substituindo os valores já obtidos:
\big\|\operatorname{proj}_{u} v\big\| = \frac{|4|}{\sqrt{30}} = \frac{4}{\sqrt{30}}.
Se preferir uma forma racionalizada:
\frac{4}{\sqrt{30}}=\frac{4\sqrt{30}}{30}=\frac{2\sqrt{30}}{15}.
Como verificação alternativa (opcional): calcular a norma a partir das entradas da projeção:
\big\|\operatorname{proj}_{u} v\big\|^{2}=\left(\frac{2}{15}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+0^{2} =\frac{4}{225}+\frac{16}{225}+\frac{4}{9} =\frac{20}{225}+\frac{100}{225}=\frac{120}{225}=\frac{8}{15},
logo \big\|\operatorname{proj}_{u} v\big\|=\sqrt{\tfrac{8}{15}}=\tfrac{4}{\sqrt{30}}, que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\operatorname{proj}_{u} v=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{15} & -\dfrac{4}{15}\\[6pt]\dfrac{2}{3} & 0\end{pmatrix}\n \big\|\operatorname{proj}_{u} v\big\|=\dfrac{4}{\sqrt{30}}=\dfrac{2\sqrt{30}}{15}]

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