Considere \psi(x)=A e^{-a x^{2}} e obtenha o comutador entre \widehat{K} e \hat{x}. O que esse resultado significa?

Passo 1

O enunciado pede o comutador entre os operadores posição \hat{x} e “operador de número de onda” \widehat{K} na representação x, onde tipicamente
\hat{x}\,\psi(x)=x\,\psi(x),
\widehat{K}=\frac{1}{\hbar}\,\hat{p}=-\,i\,\frac{d}{dx}
(adotamos unidades com \hbar=1). A função \psi(x)=A e^{-a x^{2}} serve apenas como teste de validade da relação, mas o resultado vale para qualquer função bem comportada.

Passo 2

Calculamos separadamente \widehat{K}\bigl(\hat{x}\,\psi\bigr) e \hat{x}\bigl(\widehat{K}\,\psi\bigr). Primeiro,
\widehat{K}\bigl(\hat{x}\,\psi\bigr) =-\,i\,\frac{d}{dx}\bigl(x\,\psi(x)\bigr) =-\,i\bigl(\psi(x)+x\,\psi'(x)\bigr).

Passo 3

Em seguida,
\hat{x}\bigl(\widehat{K}\,\psi\bigr) =\;x\;\Bigl(-\,i\,\psi'(x)\Bigr) =-\,i\,x\,\psi'(x).
Agora definimos o comutador sobre \psi:
[\widehat{K},\hat{x}]\,\psi =\widehat{K}\bigl(\hat{x}\,\psi\bigr) -\hat{x}\bigl(\widehat{K}\,\psi\bigr) =-\,i\bigl(\psi+x\,\psi'\bigr) -(-\,i\,x\,\psi') =-\,i\,\psi(x).
Como isso vale para qualquer \psi, concluímos
[\widehat{K},\hat{x}]=-\,i.

Passo 4

Esse resultado mostra que \hat{x} e \widehat{K} não comutam e satisfazem a relação canônica de comutação. Em particular, leva diretamente ao princípio da incerteza de Heisenberg na forma
\Delta x\,\Delta K\ge\frac{1}{2}.

Resposta

[\widehat{K},\hat{x}]=-\,i,
o que expressa que posição e número de onda (ou, via \hbar, posição e momento) são variáveis canonicamente conjugadas e não podem ser medidas simultaneamente com precisão arbitrária.

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