Considere
e obtenha o comutador entre
. O que esse resultado significa?
Passo 1
O enunciado pede o comutador entre os operadores posição
e “operador de número de onda”
na representação
, onde tipicamente
(adotamos unidades com
). A função
serve apenas como teste de validade da relação, mas o resultado vale para qualquer função bem comportada.
Passo 2
Calculamos separadamente
e
. Primeiro,
Passo 3
Em seguida,
Agora definimos o comutador sobre
:
Como isso vale para qualquer
, concluímos
Passo 4
Esse resultado mostra que
e
não comutam e satisfazem a relação canônica de comutação. Em particular, leva diretamente ao princípio da incerteza de Heisenberg na forma
Resposta
o que expressa que posição e número de onda (ou, via
, posição e momento) são variáveis canonicamente conjugadas e não podem ser medidas simultaneamente com precisão arbitrária.