Dadas as Elipses E1:
E2:
, e as retas r1:
, r2:
, calcule a area da regiao
delimitada por essas curvas no 10 quadrante.
Passo 1
O enunciado dá duas elipses centradas em
:
e as retas que passam por
com inclinações
:
A região
é o “fatiamento” entre estas duas retas e entre
(curva interna) e
(curva externa). Vamos usar coordenadas polares centradas em
para descrever facilmente essas fronteiras.
Passo 2
Definimos
Em coordenadas
:
-
vira . -
fica
ou seja
- As retas têm
. Chamemos
de modo que
corresponde a
e
a
.
Passo 3
A área em coordenadas polares é
Substituindo
obtemos
logo
Passo 4
Como o integrando é par em
,
Fazendo a substituição
, um cálculo de frações parciais dá
de onde