Dadas as Elipses E1: ((x-1) / 2)^{\wedge} 2+((y-2) / 2)^{\wedge} 2=1 \mathrm{e} E2: ((x-1) / 2)^{\wedge} 2+((y-2) / 3)^{\wedge} 2=1, e as retas r1: y-2=(\operatorname{raiz}(3) / 2)(x-1), r2: y-2=-(\operatorname{raiz}(3) / 2)(x-1), calcule a area da regiao R delimitada por essas curvas no 10 quadrante.

Passo 1

O enunciado dá duas elipses centradas em (1,2):
E_1:\frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y-2)^2}{2^2}=1, \quad E_2:\frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y-2)^2}{3^2}=1,
e as retas que passam por (1,2) com inclinações \pm\frac{\sqrt3}{2}:
r_1:\;y-2=\frac{\sqrt3}{2}(x-1), \quad r_2:\;y-2=-\frac{\sqrt3}{2}(x-1).
A região R é o “fatiamento” entre estas duas retas e entre E_1 (curva interna) e E_2 (curva externa). Vamos usar coordenadas polares centradas em (1,2) para descrever facilmente essas fronteiras.

Passo 2

Definimos
x=1+r\cos\theta,\quad y=2+r\sin\theta.
Em coordenadas (r,\theta):
  • E_1 vira r=2.
  • E_2 fica
\frac{r^2\cos^2\theta}{2^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{3^2}=1 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{36}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta},
ou seja
r_2(\theta)=\frac{6}{\sqrt{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta}}.
  • As retas têm \tan\theta=\pm\frac{\sqrt3}{2}. Chamemos
\alpha=\arctan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
de modo que r_1 corresponde a \theta=+\alpha e r_2 a \theta=-\alpha.

Passo 3

A área em coordenadas polares é
A=\int_{\theta=-\alpha}^{+\alpha} \int_{r=2}^{\,r_2(\theta)}r\,dr\,d\theta =\int_{-\alpha}^{+\alpha}\!\frac{1}{2}\bigl(r_2(\theta)^2-2^2\bigr)\,d\theta.
Substituindo r_2^2=36/(9\cos^2\theta+4\sin^2\theta) obtemos
r_2^2-4 =\frac{36}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta}-4 =\frac{20\sin^2\theta}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta},
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A =\int_{-\alpha}^{+\alpha}\frac{1}{2}\,\frac{20\sin^2\theta}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\,d\theta =10\int_{-\alpha}^{+\alpha}\frac{\sin^2\theta}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\,d\theta.

Passo 4

Como o integrando é par em \theta,
A =20\int_{0}^{\alpha}\frac{\sin^2\theta}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\,d\theta.
Fazendo a substituição t=\tan\theta, um cálculo de frações parciais dá
\int_{0}^{\alpha}\frac{\sin^2\theta}{9\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\,d\theta =-\frac{\alpha}{5}+\frac{\pi}{20},
de onde
A=20\Bigl(-\tfrac{\alpha}{5}+\tfrac{\pi}{20}\Bigr) =-4\alpha+\pi.

Resposta

\boxed{ \text{Área}(R)=\pi-4\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr). }Á

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