Calcule cada um dos limites
lim x infty x e^-x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinfty x e^-x.
O conteúdo envolve limites de produtos em que uma parte cresce (polinomial) e outra decai (exponencial). Vamos transformar o produto em quociente e usar a regra de L\’Hôpital, além de lembrar que a exponencial domina qualquer polinômio.

Passo 2

Note que
limxtoinfty x e^-x
é da forma inftycdot0. Para aplicar L\’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
x e^-x ;=;xe^x

Passo 3

Agora analisamos
limxtoinftyxe^x,
que é da forma inftyinfty. Assim, podemos aplicar a regra de L\’Hôpital.

Passo 4

Derivando numerador e denominador:
ddx(x)=1, ddx(e^x)=e^x
Logo, pela regra de L\’Hôpital,
limxtoinftyxe^x =limxtoinfty1e^x

Passo 5

Como e^xtoinfty quando xtoinfty, segue que
limxtoinfty1e^x=0.

Resposta

0

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