Considere o PVI
t d^2 yd t^2+d yd t+t y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0
A equação diferencial dada, é conhecida como equação de Bessel de ordem 0 . A solução y(t) do PVI dado é conhecida como função de Bessel (de primeira espécie) de ordem 0 e é frequentemente denotada por J0(t). O objetivo do seguinte problema é determinar a transformada de Laplace Y(s) da função de Bessel y(t)=J0(t).
Assuma o fato integral0^+infty y(t) d t=1 para calcular Y(0) e, portanto, determinar Y(s)
Dica: Use a definição da transformada de Laplace mathscrLy(t) e o fato indicado para determinar o valor de Y(0).

Passo 1

Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Então, temos uma equação diferencial que envolve a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, denotada por t d^2 yd t^2 + d yd t + t y = 0, y(0) = 1, y^prime(0) = 0 . A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a transformada de Laplace dessa função , que chamaremos de . Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e a informação fornecida de que a integral de de 0 até infinito é igual a 1, ou seja, .

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
mathscrL d yd t = s Y(s) - y(0)
mathscrL d^2 yd t^2 = s^2 Y(s) - s y(0) - y^prime(0)
Aplicando isso na nossa equação:
mathscrL t d^2 yd t^2 + mathscrL d yd t + mathscrL t y = 0

Passo 3

Transformando Cada Termo Separadamente
Vamos calcular cada transformada:
  1. Transformada de mathscrL t d^2 yd t^2 = -dd s ( s^2 Y(s) - s y(0) - y^prime(0) ) :
    Usamos a propriedade de que mathscrL d yd t = s Y(s) - y(0) . Então:
    mathscrL t y = -dd s Y(s)
  2. Transformada de :
    Já aplicamos anteriormente:
  3. Transformada de :
    Similar ao primeiro termo:

Passo 4

Montando a Equação em Termos de -dd s ( s^2 Y(s) - s y(0) - y^prime(0) ) + s Y(s) - y(0) - dd s Y(s) = 0
Substituindo as transformadas na equação original:
-( 2 s Y(s) + s^2 d Y(s)d s - y(0) ) + s Y(s) - y(0) - d Y(s)d s = 0
Vamos derivar o primeiro termo:
-2 s Y(s) - s^2 Y'(s) + y(0) + s Y(s) - y(0) - Y'(s) = 0
Simplificando:
(-2 s Y(s) + s Y(s)) + (-s^2 Y'(s) - Y'(s)) + (y(0) - y(0)) = 0
Agrupando os termos:
- s Y(s) - Y'(s) (s^2 + 1) = 0
Isso simplifica para:

Passo 5

Resolvendo para - s Y(s) = Y'(s) (s^2 + 1)
Vamos reorganizar a equação:
Y'(s) = -ss^2 + 1 Y(s)
Dividindo ambos os lados por Y'(s)Y(s) = -ss^2 + 1 :
ln Y(s) = -12 ln (s^2 + 1) + C
Esta é uma equação diferencial para Y(s) = K (s^2 + 1)^-1/2 . Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Determinação da Constante Y(0) = K (0^2 + 1)^-1/2 = K (1)^-1/2 = K Usando
Sabemos que . Substituindo na expressão de :
Então, .

Resposta

A transformada de Laplace da função de Bessel Y(s) = 1raizs^2 + 1 é:

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