Considere o PVI
A equação diferencial dada, é conhecida como equação de Bessel de ordem 0 . A solução
do PVI dado é conhecida como função de Bessel (de primeira espécie) de ordem 0 e é frequentemente denotada por
. O objetivo do seguinte problema é determinar a transformada de Laplace
da função de Bessel
.
Assuma o fato
para calcular
e, portanto, determinar
Dica: Use a definição da transformada de Laplace
e o fato indicado para determinar o valor de
.
Assuma o fato
Dica: Use a definição da transformada de Laplace
Passo 1
Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Então, temos uma equação diferencial que envolve a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, denotada por
. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a transformada de Laplace dessa função
, que chamaremos de
. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e a informação fornecida de que a integral de
de 0 até infinito é igual a 1, ou seja,
.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Transformando Cada Termo Separadamente
Vamos calcular cada transformada:
-
Transformada de
: Usamos a propriedade de que. Então: -
Transformada de
: Já aplicamos anteriormente: -
Transformada de
: Similar ao primeiro termo:
Passo 4
Montando a Equação em Termos de
Substituindo as transformadas na equação original:
Vamos derivar o primeiro termo:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Resolvendo para
Vamos reorganizar a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Esta é uma equação diferencial para
. Podemos resolvê-la separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Determinação da Constante
Usando
Sabemos que
. Substituindo
na expressão de
:
Então,
.
Resposta
A transformada de Laplace da função de Bessel
é: