Considere o PVI
t d^2 yd t^2+d yd t+t y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0
A equação diferencial dada, é conhecida como equação de Bessel de ordem 0 . A solução y(t) do PVI dado é conhecida como função de Bessel (de primeira espécie) de ordem 0 e é frequentemente denotada por J0(t). O objetivo do seguinte problema é determinar a transformada de Laplace Y(s) da função de Bessel y(t)=J0(t).
Encontre a solução geral Y(s) da equação diferencial (1).
Dica: Observe que a equação diferencial é separável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo conhecido como Equação de Bessel de ordem 0. A função que resolve essa equação é chamada de Função de Bessel de primeira espécie de ordem 0, representada por . O nosso objetivo é encontrar a Transformada de Laplace dessa função, ou seja, , partindo da equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta poderosa que transforma funções do tempo Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt para o domínio da frequência . Matemáticamente, é definida por:
No nosso caso, queremos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial dada para encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
t d^2 yd t^2 + d yd t + t y = 0
Aplicando a transformada:
L t d^2 yd t^2 + L d yd t + L t y = L0
Sabemos que .

Passo 4

Precisamos agora calcular cada uma dessas transformadas individualmente. Vamos começar com L d yd t = s Y(s) - y(0) . A Transformada de Laplace da derivada de uma função é dada por:
L d yd t = s Y(s) - 1
Onde é a condição inicial dada.

Passo 5

Agora, vamos calcular L t f(t) = -dd s Y(s) . Existe uma propriedade da Transformada de Laplace que nos ajuda aqui:
L t y = -d Y(s)d s
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, o termo mais complicado: L f''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) . Para resolver isso, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para L t f''(t) = -dd s ( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) ) . Sabemos que:
L t y''(t) = -dd s ( s^2 Y(s) - s ) = - (2 s Y(s) + s^2 Y'(s) - 1)
Multiplicando por :
Substituindo e :

Passo 7

Agora, substituímos todas essas transformadas de volta na equação original:
- (2 s Y(s) + s^2 Y'(s) - 1) + (s Y(s) - 1) - d Y(s)d s = 0
Simplificando:
-2 s Y(s) - s^2 Y'(s) + 1 + s Y(s) - 1 - Y'(s) = 0
Agrupando termos semelhantes:
(-2 s Y(s) + s Y(s)) + (-s^2 Y'(s) - Y'(s)) + (1 - 1) = 0
(-s Y(s)) + (- Y'(s)(s^2 + 1)) = 0

Passo 8

Agora, reorganizamos a equação para isolar -s Y(s) - (s^2 + 1) Y'(s) = 0 :
- (s^2 + 1) Y'(s) = s Y(s)
Movendo o termo (s^2 + 1) Y'(s) = -s Y(s) para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, temos uma equação diferencial ordinária para Y'(s) = -ss^2 + 1 Y(s) :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis.

Passo 10

Vamos separar as variáveis Y'(s)Y(s) = -ss^2 + 1 e integral 1Y(s) dY(s) = integral -ss^2 + 1 ds :
ln |Y(s)| = (vamos integrar o lado direito)
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo fica:

Passo 11

Agora, vamos integrar o lado direito:
integral -ss^2 + 1 ds
Fazendo a substituição integral -ss^2 + 1 ds = -12 integral duu = -12 ln |u| + C = -12 ln (s^2 + 1) + C , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 12

Voltando à equação:
ln |Y(s)| = -12 ln (s^2 + 1) + C
Onde Y(s) = e^C (s^2 + 1)^-1/2 é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
Y(s) = K (s^2 + 1)^-1/2
Vamos simplificar como uma constante :

Passo 13

Agora, precisamos determinar a constante lims to infty Y(s) = lims to infty K (s^2 + 1)^-1/2 = K lims to infty 1s = 0 . Para isso, usamos a condição inicial. Sabemos que , e que a Transformada de Laplace de é .
Substituindo na expressão de :
Para que a expressão seja consistente com , devemos ter .

Resposta

A Transformada de Laplace da função de Bessel Y(s) = 1raizs^2 + 1 é:

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