Considere o PVI
A equação diferencial dada, é conhecida como equação de Bessel de ordem 0 . A solução
do PVI dado é conhecida como função de Bessel (de primeira espécie) de ordem 0 e é frequentemente denotada por
. O objetivo do seguinte problema é determinar a transformada de Laplace
da função de Bessel
.
Encontre a solução geral
da equação diferencial (1).
Dica: Observe que a equação diferencial é separável.
Encontre a solução geral
Dica: Observe que a equação diferencial é separável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo conhecido como Equação de Bessel de ordem 0. A função que resolve essa equação é chamada de Função de Bessel de primeira espécie de ordem 0, representada por
. O nosso objetivo é encontrar a Transformada de Laplace dessa função, ou seja,
, partindo da equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta poderosa que transforma funções do tempo
para o domínio da frequência
. Matemáticamente, é definida por:
No nosso caso, queremos aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial dada para encontrar
.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Aplicando a transformada:
Sabemos que
.
Passo 4
Precisamos agora calcular cada uma dessas transformadas individualmente. Vamos começar com
. A Transformada de Laplace da derivada de uma função é dada por:
Onde
é a condição inicial dada.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Existe uma propriedade da Transformada de Laplace que nos ajuda aqui:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, o termo mais complicado:
. Para resolver isso, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para
. Sabemos que:
Multiplicando por
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, substituímos todas essas transformadas de volta na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, reorganizamos a equação para isolar
:
Movendo o termo
para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial ordinária para
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis.
Passo 10
Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo fica:
Passo 11
Agora, vamos integrar o lado direito:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 12
Voltando à equação:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
Vamos simplificar
como uma constante
:
Passo 13
Agora, precisamos determinar a constante
. Para isso, usamos a condição inicial. Sabemos que
, e que a Transformada de Laplace de
é
.
Substituindo
na expressão de
:
Para que a expressão seja consistente com
, devemos ter
.
Resposta
A Transformada de Laplace da função de Bessel
é: