Mostre que:
Se n1, n2, ldots, nk in Z então o conjunto de todos os inteiros que podem ser escritos na forma n1 r1+n2 r2+cdots+nk rk, onde r1, r2, ldots, rk in Z, é um ideal em Z.

Passo 1

Estamos em teoria de anéis, mais especificamente mostrando que certos subconjuntos de Z são ideais. Seja I=n1r1+cdots+nkrkmid riin Z. Lembrando que em anel comutativo (como Z) um ideal é um subgrupo do grupo aditivo que é fechado sob multiplicação por qualquer elemento do anel.

Passo 2

Vamos mostrar que I é um subgrupo de ( Z,+). Dados x=n1r1+cdots+nkrk e y=n1s1+cdots+nksk em I, temos
x+y=n1(r1+s1)+cdots+nk(rk+sk)in I
Além disso, o inverso aditivo de x é
-x=n1(-r1)+cdots+nk(-rk)in I,
logo I é fechado sob soma e inverso aditivo, ou seja, um subgrupo.

Passo 3

Agora, para mostrar a absorção multiplicativa, pegue ain Z e x=n1r1+cdots+nkrkin I. Então
a,x=a(n1r1+cdots+nkrk)=n1(ar1)+cdots+nk(ark)in I

Passo 4

Portanto, I absorve a multiplicação por qualquer inteiro e satisfaz a definição de ideal em Z.

Resposta

O conjunto n1r1+cdots+nkrkmid riin Z é um ideal em Z.

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