Mostre que:
Se
então o conjunto de todos os inteiros que podem ser escritos na forma
, onde
, é um ideal em
.
Se
Passo 1
Estamos em teoria de anéis, mais especificamente mostrando que certos subconjuntos de
são ideais. Seja
. Lembrando que em anel comutativo (como
) um ideal é um subgrupo do grupo aditivo que é fechado sob multiplicação por qualquer elemento do anel.
Passo 2
Vamos mostrar que
é um subgrupo de
. Dados
e
em
, temos
Além disso, o inverso aditivo de
logo
é fechado sob soma e inverso aditivo, ou seja, um subgrupo.
Passo 3
Agora, para mostrar a absorção multiplicativa, pegue
e
. Então
Passo 4
Portanto,
absorve a multiplicação por qualquer inteiro e satisfaz a definição de ideal em
.
Resposta
O conjunto
é um ideal em
.