Considere o PVI
(a) Encontre
.
(b) Determine
tal que
.
(c) Encontre o menor valor positivo de
, em função de
, tal que
.
(b) Determine
(c) Encontre o menor valor positivo de
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
As perguntas são:
(a) Encontrar (a solução explícita que satisfaz as condições iniciais).
(b) Determinar de modo que
.
(c) Para dado , encontrar o menor
(em função de
) tal que
.
(a) Encontrar
(b) Determinar
(c) Para dado
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A constante que aparece na equação é
; será útil definir (essa aparição virá do discriminante). - A condição
vale para toda a análise (isso influencia o sinal numa etapa posterior).
Passo 2
Vou resolver a equação diferencial encontrando a equação característica. Para equações do tipo
assumimos uma solução exponencial
e obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como
, os autovalores são números complexos conjugados:
Passo 3
Quando a equação característica tem raízes complexas
(com
), a forma real geral da solução é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
. Logo a solução geral é
Explicando pedagogicamente: a parte
dá decaimento/explosão exponencial e as funções
dão a oscilação com frequência
.
Passo 4
Usamos a condição inicial
. Avaliando em
:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos de
usando
. Primeiro calculamos
. Seja
para simplificar a notação. Com
, aplicamos a regra do produto:
Como
e
,
, obtemos
Fatorando
:
Agora avaliamos em
(lembre
):
Substituindo
e impondo
, temos
Passo 6
Substituindo
e
na forma geral, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
onde
. Esta é a resposta para a parte (a). Observação: o fator
nunca é zero, então as raízes de
vêm da parte trigonométrica entre parênteses.
Passo 7
Parte (b). Impor
. Como
, basta anular o conteúdo dos parênteses em
:
Isolando
:
portanto
Lembrando
, uma forma explícita é
Se desejar aproximação numérica, calcule
e
e substitua; isso dá aproximadamente
(mas a expressão exata acima é a resposta simbólica).
Passo 8
Parte (c). Zeros de
ocorrem quando o parêntese é zero:
Assumindo
(caso tratado implicitamente na solução geral abaixo), dividimos por
e obtemos
Definimos o ângulo principal
A solução geral para
é
porque a tangente tem período
. Assim
Queremos o menor
. Note que, para
, tem-se
e
, então
. Portanto
é negativo e o menor índice
que torna
é
. Então o menor zero positivo é
Substituindo
(já que
), obtemos a fórmula conveniente
com
. Essa é a menor
tal que
para
.
Passo 9
Resumo rápido do que foi encontrado (antes da resposta final): solução explícita
; valor de
que zera
é
; menor zero positivo
é
. Força aí — já está pronto para a prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)