1. Verifique que
\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} d x=2\left(1+e^{2}\right)
SUGESTÃO: Considere y^{2}=x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}}\,dx=2\left(1+e^{2}\right).
Informações dadas e sugestão do enunciado:
  • A integral definida a calcular é \int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}}\,dx.
  • Foi sugerido considerar y^{2}=x (ou seja, y=\sqrt{x}).
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Motivação da substituição e mudança de variável: vamos usar a sugestão. Defina
y=\sqrt{x}\quad\text{ou, equivalentemente,}\quad x=y^{2}.
Explicando com calma: aqui y representa a raiz quadrada de x; como a raiz principal é não negativa, ao variar x de 0 a 4 teremos y variando de 0 a 2.

Passo 3

Cálculo do diferencial e mudança dos limites: derivando x=y^{2} em relação a y,
dx=2y\,dy.
Troca dos limites da integral: quando x=0 temos y=0; quando x=4 temos y=2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral: substituindo x=y^{2}, \sqrt{x}=y e dx=2y\,dy, obtemos
\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{2} e^{y}\cdot 2y\,dy = 2\int_{0}^{2} y e^{y}\,dy.
Aqui foi só trocar variável e ajustar limites; agora resta calcular \int_{0}^{2} y e^{y}\,dy.

Passo 5

Integração por partes (fórmula e escolha): a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=y (para simplificar ao derivar) e dv=e^{y}\,dy (pois e^{y} é fácil de integrar). Então
du=dy,\qquad v=e^{y}.
Aplicando a fórmula:
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.

Passo 6

Avaliação da integral definida: usando a primitiva e^{y}(y-1) no intervalo [0,2],
\int_{0}^{2} y e^{y}\,dy = \left[e^{y}(y-1)\right]_{0}^{2} = e^{2}(2-1) - e^{0}(0-1).
Calcule cada termo: e^{2}(2-1)=e^{2} e e^{0}(0-1)=1\cdot(-1)=-1. Portanto
\int_{0}^{2} y e^{y}\,dy = e^{2} - (-1) = e^{2}+1.
Multiplicando pelo fator 2 que apareceu na Passo 4,
\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}}\,dx = 2\bigl(e^{2}+1\bigr) = 2\left(1+e^{2}\right).

Resposta

2\left(1+e^{2}\right)

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