- Verifique que
SUGESTÃO: Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade
Informações dadas e sugestão do enunciado:
- A integral definida a calcular é
. - Foi sugerido considerar
(ou seja, ).
Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Motivação da substituição e mudança de variável: vamos usar a sugestão. Defina
Explicando com calma: aqui
representa a raiz quadrada de
; como a raiz principal é não negativa, ao variar
de
a
teremos
variando de
a
.
Passo 3
Cálculo do diferencial e mudança dos limites: derivando
em relação a
,
Troca dos limites da integral: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral: substituindo
,
e
, obtemos
Aqui foi só trocar variável e ajustar limites; agora resta calcular
.
Passo 5
Integração por partes (fórmula e escolha): a fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(para simplificar ao derivar) e
(pois
é fácil de integrar). Então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Avaliação da integral definida: usando a primitiva
no intervalo
,
Calcule cada termo:
e
. Portanto
Multiplicando pelo fator
que apareceu na Passo 4,