Uma loja vende dois tipos de casacos A e B. O casaco A custa R \ 40,00 e o casacoB custa R$ 50,00 . Sejax o preço de venda do casacoçA ey o preço de venda do casacoçB . O total de vendas feito pela loja foi de (3200-50 x+25 y ) unidades do casacoA e (25 x-25 y ) unidades do casacoB . Encontre os valores dex ey$ para que o lucro obtido pela loja seja o maior possível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
  • O custo do casaco A é \$40,00.
  • O custo do casaco B é \$50,00.
  • O preço de venda do casaco A é x.
  • O preço de venda do casaco B é y.
  • O número de unidades vendidas do casaco A é \;3200-50x+25y (eu peguei essa expressão do enunciado).
  • O número de unidades vendidas do casaco B é \;25x-25y (também peguei essa expressão do enunciado).
O que o problema pede: encontrar os valores de x e y para que o lucro total da loja seja máximo.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a expressão do lucro total. Lembra: lucro por unidade = preço de venda − custo. Então
  • lucro por unidade do casaco A é \;x-40.
  • lucro por unidade do casaco B é \;y-50.
O lucro total P(x,y) é lucro por unidade vezes número de unidades, somando os dois tipos:
P(x,y) = (x-40)\bigl(3200-50x+25y\bigr) \;+\; (y-50)\bigl(25x-25y\bigr).
Aqui expliquei o que cada termo significa: o primeiro é o lucro total vindo do tipo A e o segundo é o lucro total vindo do tipo B.

Passo 3

Agora vamos desenvolver essa expressão passo a passo (sem pular etapas):
Multiplicando o primeiro produto:
(x-40)(3200-50x+25y)= x\cdot3200 -50x^2 +25xy -40\cdot3200 +2000x -1000y.
Reunindo termos:
= -50x^2 +25xy + (3200x+2000x) -1000y -128000 = -50x^2 +25xy +5200x -1000y -128000.
Multiplicando o segundo produto:
(y-50)(25x-25y)= 25xy -25y^2 -1250x +1250y.
Somando os dois resultados:
P(x,y)=(-50x^2 +25xy +5200x -1000y -128000) +(25xy -25y^2 -1250x +1250y).
Agora juntamos termos semelhantes:
P(x,y) = -50x^2 + (25xy+25xy) -25y^2 + (5200x-1250x) +(-1000y+1250y) -128000.
P(x,y) = -50x^2 +50xy -25y^2 +3950x +250y -128000.
Para facilitar, podemos fatorar -25:
P(x,y) = -25\bigl(2x^2 -2xy + y^2 -158x -10y +5120\bigr).

Passo 4

Queremos maximizar P(x,y). Note que P é um polinômio quadrático em x,y. Uma maneira padrão é derivar parcialmente e achar o ponto crítico (onde as derivadas parciais são zero).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial x} = -100x +50y +3950,
\frac{\partial P}{\partial y} = 50x -50y +250.
Igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
-100x +50y +3950 = 0,
50x -50y +250 = 0.
Vamos resolver esse sistema linear. Da segunda equação dividida por 50:
x - y +5 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = y -5.
Substituindo na primeira:
-100(y-5) +50y +3950 = 0.
-100y +500 +50y +3950 = 0 \quad\Rightarrow\quad -50y +4450 = 0.
y = \frac{4450}{50} = 89.
Logo y=89 e x = y-5 = 84.
Então o ponto crítico interior é \;x=84,\; y=89.

Passo 5

Temos que verificar se esse ponto crítico é fisicamente possível: as quantidades vendidas devem ser não negativas. Vamos calcular as quantidades usando as fórmulas do enunciado:
  • Para A: \;3200-50x+25y = 3200 -50\cdot84 +25\cdot89.
    Calcule: 3200 -4200 +2225 = 1225. Então A vende 1225 unidades (ok, positivo).
  • Para B: \;25x-25y = 25(84-89) = 25(-5) = -125.
    Isso dá -125 unidades para B, o que é impossível na prática (não se vende quantidade negativa).
Portanto o ponto crítico (84,89) é matematicamente um ponto estacionário, mas não é admissível fisicamente porque torna as vendas do casaco B negativas. Precisamos então maximizar P impondo que as quantidades sejam \ge 0. Em particular, temos a restrição natural
25x -25y \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x - y \ge 0.

Passo 6

Como a função P(x,y) é um quadrático com coeficiente negativo dominante (pode-se checar que a matriz Hessiana é negativa definida), P é côncava e tem um único máximo global se não houver restrições. Como o ponto interior não é viável, o máximo viável ocorrerá na fronteira do conjunto admissível definido pelas desigualdades lineares. As fronteiras relevantes são:
  • a reta onde 25x-25y=0, isto é, x=y (venda de B zero), ou
  • a reta onde 3200-50x+25y=0 (venda de A zero).
Vamos examinar a fronteira mais óbvia primeiro: x=y (porque o ponto interior fez B negativo, então corrigir para x=y resolve isso deixando B com 0 vendas).

Passo 7

Impondo x=y (ou seja, 25x-25y=0), substituímos em P. Com y=x temos a venda de A:
3200-50x+25y = 3200-50x+25x = 3200-25x.
E o lucro total vira (apenas A vende):
P(x,x) = (x-40)(3200-25x).
Vamos maximizar essa função unidimensional. Expandindo:
P(x) = -25x^2 +4200x -128000.
Isto é uma parábola côncava (coeficiente -25<0). O máximo está no vértice da parábola, dado por
x_{\text{vértice}} = -\frac{b}{2a},é
onde aqui a=-25 e b=4200. Então
x = -\frac{4200}{2(-25)} = \frac{4200}{50} = 84.
Como x=y, segue y=84.
Calculemos as quantidades e o lucro nesse ponto:
  • vendas de A: 3200-25\cdot84 = 3200 -2100 = 1100 unidades (positivo),
  • vendas de B: 25x-25y = 0 unidades,
  • lucro total: (84-40)\cdot1100 = 44\cdot1100 = 48400 (unidade monetária).
Esse é um candidato natural para máximo viável.

Passo 8

Para termos certeza de que esse é o máximo global sob as restrições, verifiquemos a outra fronteira possível: 3200-50x+25y=0 (ou seja, vendas de A zero). Da equação dessa reta temos
y = 2x -128.
Substituindo em P (aqui o lucro vem só do tipo B pois A vende zero) e maximizando (cálculo mostrado abaixo) obtemos um máximo nesta reta em x=108{,}5, y=89 e o lucro obtido é
P \approx 19012{,}5,
o que é menor que 48400.
Como a função é côncava e as únicas possíveis regiões de fronteira deram lucros no máximo 48400 (na fronteira x=y), concluímos que o ponto (x,y)=(84,84) é o máximo global viável.

Resposta

x=84
y=84

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