Uma loja vende dois tipos de casacos
e
. O casaco
custa R
40,00
B
$
x
A
y
B
3200-50 x+25 y
A
25 x-25 y
B
x
y$ para que o lucro obtido pela loja seja o maior possível.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
- O custo do casaco
é . - O custo do casaco
é . - O preço de venda do casaco
é . - O preço de venda do casaco
é . - O número de unidades vendidas do casaco
é (eu peguei essa expressão do enunciado). - O número de unidades vendidas do casaco
é (também peguei essa expressão do enunciado).
O que o problema pede: encontrar os valores de
e
para que o lucro total da loja seja máximo.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a expressão do lucro total. Lembra: lucro por unidade = preço de venda − custo. Então
- lucro por unidade do casaco
é . - lucro por unidade do casaco
é .
O lucro total
é lucro por unidade vezes número de unidades, somando os dois tipos:
Aqui expliquei o que cada termo significa: o primeiro é o lucro total vindo do tipo
e o segundo é o lucro total vindo do tipo
.
Passo 3
Agora vamos desenvolver essa expressão passo a passo (sem pular etapas):
Multiplicando o primeiro produto:
Reunindo termos:
Multiplicando o segundo produto:
Somando os dois resultados:
Agora juntamos termos semelhantes:
Para facilitar, podemos fatorar
:
Passo 4
Queremos maximizar
. Note que
é um polinômio quadrático em
. Uma maneira padrão é derivar parcialmente e achar o ponto crítico (onde as derivadas parciais são zero).
Calculamos as derivadas parciais:
Igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema linear. Da segunda equação dividida por
:
Substituindo na primeira:
Logo
e
.
Então o ponto crítico interior é
.
Passo 5
Temos que verificar se esse ponto crítico é fisicamente possível: as quantidades vendidas devem ser não negativas. Vamos calcular as quantidades usando as fórmulas do enunciado:
-
Para
: .
Calcule:. Então vende unidades (ok, positivo). -
Para
: .
Isso dáunidades para , o que é impossível na prática (não se vende quantidade negativa).
Portanto o ponto crítico
é matematicamente um ponto estacionário, mas não é admissível fisicamente porque torna as vendas do casaco
negativas. Precisamos então maximizar
impondo que as quantidades sejam
. Em particular, temos a restrição natural
Passo 6
Como a função
é um quadrático com coeficiente negativo dominante (pode-se checar que a matriz Hessiana é negativa definida),
é côncava e tem um único máximo global se não houver restrições. Como o ponto interior não é viável, o máximo viável ocorrerá na fronteira do conjunto admissível definido pelas desigualdades lineares. As fronteiras relevantes são:
- a reta onde
, isto é, (venda de zero), ou - a reta onde
(venda de zero).
Vamos examinar a fronteira mais óbvia primeiro:
(porque o ponto interior fez
negativo, então corrigir para
resolve isso deixando
com 0 vendas).
Passo 7
Impondo
(ou seja,
), substituímos em
. Com
temos a venda de
:
E o lucro total vira (apenas
vende):
Vamos maximizar essa função unidimensional. Expandindo:
Isto é uma parábola côncava (coeficiente
). O máximo está no vértice da parábola, dado por
onde aqui
e
. Então
Como
, segue
.
Calculemos as quantidades e o lucro nesse ponto:
- vendas de
: unidades (positivo), - vendas de
: unidades, - lucro total:
(unidade monetária).
Esse é um candidato natural para máximo viável.
Passo 8
Para termos certeza de que esse é o máximo global sob as restrições, verifiquemos a outra fronteira possível:
(ou seja, vendas de
zero). Da equação dessa reta temos
Substituindo em
(aqui o lucro vem só do tipo
pois
vende zero) e maximizando (cálculo mostrado abaixo) obtemos um máximo nesta reta em
,
e o lucro obtido é
o que é menor que
.
Como a função é côncava e as únicas possíveis regiões de fronteira deram lucros no máximo
(na fronteira
), concluímos que o ponto
é o máximo global viável.