Considere o PVIF
& ut=K ux x+gamma, em mathscrR, & u(0, t)=alpha e u(L, t)=beta, t>0 & u(x, 0)=0
onde alpha, beta e gamma são constantes. Calcule a solução U(x) de equilíbrio. Determine a solução desse PVIF.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDP de calor com fonte constante gamma, ou seja,
ut=K,uxx+gamma em;00,
com condições de contorno não homogêneas u(0,t)=alpha, u(L,t)=beta e condição inicial u(x,0)=0. Vamos usar o método padrão: primeiro achar a solução de equilíbrio U(x) e depois estudar o desvio v=u-U.

Passo 2

Para encontrar U(x) basta anular a derivada temporal, isto é, resolver
K,U''(x)+gamma=0
Integramos duas vezes:
U'(x)=-gammaKx+C1,
U(x)=-gamma2Kx^2+C1x+C2
Aplicando U(0)=alpha C2=alpha, e U(L)=beta leva a
C1=beta-alphaL+gamma L2K

Passo 3

Daí obtemos a solução de equilíbrio:
U(x)=-gamma2Kx^2+l(beta-alphaL+gamma L2Kr)x+alpha

Passo 4

Definimos o desvio v(x,t)=u(x,t)-U(x). Então v satisfaz a EDP homogênea
vt=K,vxx,
com condições de contorno homogêneas v(0,t)=v(L,t)=0 e condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-U(x)=-U(x)

Passo 5

Resolvemos v por séries de Fourier senoidais:
v(x,t)=sumn=1^inftybnsinl(npi xLr),e^-K(npi/L)^2t,
onde os coeficientes vêm de
$$b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}v(x,0)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),dx
=-\frac{2}{L}\int_{0}^{L}U(x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),dx.$$

Passo 6

Por fim, a solução completa é
u(x,t)=U(x)+sumn=1^inftybnsinl(npi xLr),e^-K(npi/L)^2t,
sendo U(x) e bn dados acima.

Resposta

A solução de equilíbrio é
$$U(x)=-\frac{\gamma}{2K}x^2+\Bigl(\frac{\beta-\alpha}{L}+\frac{\gamma L}{2K}\Bigr)x+\alpha.
U(x)=-gamma2Kx^2+l(beta-alphaL+gamma L2Kr)x+alpha çãéu(x,t)=U(x)+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)e{-K(n\pi/L)2t},$$
com
u(x,t)=U(x)+sumn=1^inftybnsinl(npi xLr)e^-K(npi/L)^2t,

Exercícios relacionados