Considere o PVIF
onde
e
são constantes. Calcule a solução
de equilíbrio. Determine a solução desse PVIF.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDP de calor com fonte constante
, ou seja,
com condições de contorno não homogêneas
Passo 2
Para encontrar
basta anular a derivada temporal, isto é, resolver
Integramos duas vezes:
Aplicando
Passo 3
Daí obtemos a solução de equilíbrio:
Passo 4
Definimos o desvio
. Então
satisfaz a EDP homogênea
com condições de contorno homogêneas
Passo 5
Resolvemos
por séries de Fourier senoidais:
onde os coeficientes vêm de
$$b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}v(x,0)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),dx
=-\frac{2}{L}\int_{0}^{L}U(x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),dx.$$
Passo 6
Por fim, a solução completa é
sendo
Resposta
A solução de equilíbrio é
$$U(x)=-\frac{\gamma}{2K}x^2+\Bigl(\frac{\beta-\alpha}{L}+\frac{\gamma L}{2K}\Bigr)x+\alpha.
com