Mostre que, em geral, o PVIF
não tem solução de equilíbrio. Determine a condição a que necessariamente
e
devem satisfazer, para que exista a solução de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado apresenta uma equação de difusão com termo fonte e condições de contorno do tipo Neumann: precisamos achar uma solução de equilíbrio (tempo constante), eliminando a derivada temporal.
Passo 2
Para solução de equilíbrio definimos u(x,t)=U(x) de modo que u_t=0. Assim a PDE vira a ODE
Passo 3
Reescrevendo temos
Passo 4
Integramos uma vez em x:
Passo 5
Usando a condição de contorno em x=0 (U’(0)=α) obtemos C_1=α. Logo
Passo 6
Agora aplicamos a condição em x=L (U’(L)=β):
Passo 7
Rearranjando essa igualdade, obtemos a condição necessária para existir equilíbrio.
Resposta
A condição para haver solução de equilíbrio é