Mostre que, em geral, o PVIF
& ut=K ux x+g(x), em mathscrR, & ux(0, t)=alpha, ux(L, t)=beta, para t>0, & u(x, 0)=f(x)
não tem solução de equilíbrio. Determine a condição a que necessariamente alpha, beta, K, g e L devem satisfazer, para que exista a solução de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação de difusão com termo fonte e condições de contorno do tipo Neumann: precisamos achar uma solução de equilíbrio (tempo constante), eliminando a derivada temporal.

Passo 2

Para solução de equilíbrio definimos u(x,t)=U(x) de modo que u_t=0. Assim a PDE vira a ODE
K,U''(x)+g(x)=0

Passo 3

Reescrevendo temos
U''(x)=-g(x)K

Passo 4

Integramos uma vez em x:
U'(x)=C1-1Kintegral0^xg(s),ds

Passo 5

Usando a condição de contorno em x=0 (U’(0)=α) obtemos C_1=α. Logo
U'(x)=alpha-1Kintegral0^xg(s),ds

Passo 6

Agora aplicamos a condição em x=L (U’(L)=β):
alpha-1Kintegral0^Lg(s),ds=beta

Passo 7

Rearranjando essa igualdade, obtemos a condição necessária para existir equilíbrio.

Resposta

A condição para haver solução de equilíbrio é
integral0^Lg(x),dx = K,(alpha - beta)

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