Considere os PVIs abaixo:
i) Encontre a transformada de Laplace de cada um deles, escreva em função de
.
ii) Determine a solução
dos PVIs com base na transformada inversa de
.
i) Encontre a transformada de Laplace de cada um deles, escreva em função de
ii) Determine a solução
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ - 2y’ + y = e^{-t} $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui são as transformadas de Laplace, que nos ajudam a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de manejar. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na equação e usar as condições iniciais para encontrar $ F(s) $, e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução $ f(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde $ Y(s) $ é a transformada de Laplace de $ y(t) $.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação $ y’’ - 2y’ + y = e^{-t} $, temos:
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $:
Simplificando:
Passo 5
Vamos organizar os termos com $ Y(s) $ juntos:
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador $ s^2 - 2s + 1 $. Observamos que isso é igual a $ (s - 1)^2 $, então:
Passo 7
Agora, vamos escrever $ 1 $ como $ \frac{s + 1}{s + 1} $ para ter um denominador comum:
Passo 8
Agora, vamos deixar $ F(s) = Y(s) $:
Passo 9
Para encontrar $ f(t) $, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em $ F(s) $. Vamos decompor $ F(s) $ em frações parciais:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum $ (s - 1)^2(s + 1) $:
Passo 11
Expandindo e simplificando para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $:
Escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
- Para $ s = -1 $:
- Para $ s = 1 $:
- Para $ s = 0 $:
Substituindo $ A = \frac{1}{4} $ e $ C = \frac{3}{2} $:
Passo 12
Agora, temos:
Passo 13
Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Resposta
A solução do PVI é: