Considere os PVIs abaixo:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-t, y(0)=0 y^prime(0)=1
i) Encontre a transformada de Laplace de cada um deles, escreva em função de F(s).
ii) Determine a solução f(t) dos PVIs com base na transformada inversa de F(s).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ - 2y’ + y = e^{-t} $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. O conteúdo que vamos usar aqui são as transformadas de Laplace, que nos ajudam a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de manejar. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na equação e usar as condições iniciais para encontrar $ F(s) $, e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução $ f(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Onde $ Y(s) $ é a transformada de Laplace de $ y(t) $.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação $ y’’ - 2y’ + y = e^{-t} $, temos:
y'' - 2y' + y = e^-t
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Ly'' - 2Ly' + Ly = Le^-t

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $:
y(0) = 0
Simplificando:
y'(0) = 1

Passo 5

Vamos organizar os termos com $ Y(s) $ juntos:
Y(s)
Agora, isolamos $ Y(s) $:
(s^2 - 2s + 1)Y(s) - 1 = 1s + 1

Passo 6

Vamos simplificar o denominador $ s^2 - 2s + 1 $. Observamos que isso é igual a $ (s - 1)^2 $, então:
s^2 - 2s + 1

Passo 7

Agora, vamos escrever $ 1 $ como $ \frac{s + 1}{s + 1} $ para ter um denominador comum:
1

Passo 8

Agora, vamos deixar $ F(s) = Y(s) $:
F(s) = Y(s)

Passo 9

Para encontrar $ f(t) $, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em $ F(s) $. Vamos decompor $ F(s) $ em frações parciais:
f(t)

Passo 10

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum $ (s - 1)^2(s + 1) $:
(s - 1)^2(s + 1)

Passo 11

Expandindo e simplificando para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $:
Escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
  • Para $ s = -1 $:
A
  • Para $ s = 1 $:
B
  • Para $ s = 0 $:
C
Substituindo $ A = \frac{1}{4} $ e $ C = \frac{3}{2} $:
s

Passo 12

Agora, temos:
F(s) = 14cdot 1s + 1 - 14cdot 1s - 1 + 32cdot 1(s - 1)^2

Passo 13

Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo:
f(t) = 14e^-t - 14e^t + 32te^t

Resposta

A solução do PVI é:
f(t) = 14e^-t - 14e^t + 32te^t

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