Considere os PVIs abaixo:
i) Encontre a transformada de Laplace de cada um deles, escreva em função de
.
ii) Determine a solução
dos PVIs com base na transformada inversa de
.
i) Encontre a transformada de Laplace de cada um deles, escreva em função de
ii) Determine a solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial com uma condição inicial. O enunciado é:
Vamos usar transformadas de Laplace para resolver isso. Basicamente, a transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo mais fácil de lidar, resolvendo para
, que é a transformada de
. Depois, a gente aplica a transformada inversa de Laplace para encontrar a solução no domínio do tempo, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de
é
, onde
é a transformada de
. Então:
Isso fica:
Passo 3
Agora, substituímos
pelo valor dado, que é 3:
Juntando os termos com
:
Sabemos que
. Então, aqui
:
Então, nossa equação fica:
Passo 4
Vamos isolar
:
Para somar os termos do lado direito, precisamos de um denominador comum:
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, vamos usar frações parciais para decompôr
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, encontramos os valores de A, B e C substituindo valores estratégicos de s:
Para
:
Vamos expandir a equação:
Comparando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo
e
na terceira equação:
Então:
Passo 6
Agora que temos A, B e C, substituímos de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para cada termo:
Então:
Resposta
A solução do PVI é: