Considere os PVIs abaixo:
y^prime+y=cosh (2 t), y(0)=3
i) Encontre a transformada de Laplace de cada um deles, escreva em função de F(s).
ii) Determine a solução f(t) dos PVIs com base na transformada inversa de F(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial com uma condição inicial. O enunciado é:
y^prime + y = cosh(2t), y(0) = 3
Vamos usar transformadas de Laplace para resolver isso. Basicamente, a transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo mais fácil de lidar, resolvendo para F(s), que é a transformada de y(t). Depois, a gente aplica a transformada inversa de Laplace para encontrar a solução no domínio do tempo, ou seja, f(t).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de y'(t) é sY(s) - y(0), onde Y(s) é a transformada de y(t). Então:
Ly' + Ly = Lcosh(2t)
Isso fica:
sY(s) - y(0) + Y(s) = Lcosh(2t)

Passo 3

Agora, substituímos y(0) pelo valor dado, que é 3:
sY(s) - 3 + Y(s) = Lcosh(2t)
Juntando os termos com Y(s):
Y(s)(s + 1) - 3 = Lcosh(2t)
Sabemos que Lcosh(at) = ss^2 - a^2. Então, aqui a = 2:
Lcosh(2t) = ss^2 - 4
Então, nossa equação fica:
Y(s)(s + 1) - 3 = ss^2 - 4

Passo 4

Vamos isolar Y(s):
Y(s)(s + 1) = ss^2 - 4 + 3
Para somar os termos do lado direito, precisamos de um denominador comum:
Y(s)(s + 1) = ss^2 - 4 + 3(s^2 - 4)s^2 - 4
Y(s)(s + 1) = s + 3s^2 - 12s^2 - 4
Agora, resolvemos para Y(s):
Y(s) = s + 3s^2 - 12(s^2 - 4)(s + 1)
Podemos simplificar a expressão:
Y(s) = 3s^2 + s - 12(s + 2)(s - 2)(s + 1)

Passo 5

Agora, vamos usar frações parciais para decompôr Y(s):
Y(s) = As + 2 + Bs - 2 + Cs + 1
Multiplicando ambos os lados por (s + 2)(s - 2)(s + 1):
3s^2 + s - 12 = A(s - 2)(s + 1) + B(s + 2)(s + 1) + C(s + 2)(s - 2)
Agora, encontramos os valores de A, B e C substituindo valores estratégicos de s:
Para s = -2:
3(-2)^2 + (-2) - 12 = A(0) + B(0) + C(0)
12 - 2 - 12 = 0 + 0 + C(0)
-2 = 0 Rightarrow Erro na aborda>=m Vamos tentar outra forma
Vamos expandir a equação:
3s^2 + s - 12 = A(s^2 - s - 2) + B(s^2 + 3s + 2) + C(s^2 - 4)
Comparando os coeficientes:
Para s^2:
3 = A + B + C
Para s:
1 = -A + 3B
Para o termo constante:
-12 = -2A + 2B - 4C
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
-A + 3B = 1 Rightarrow A = 3B - 1
Substituindo na primeira equação:
3 = (3B - 1) + B + C Rightarrow 3 = 4B - 1 + C Rightarrow C = 4 - 4B
Agora, substituindo A e C na terceira equação:
-12 = -2(3B - 1) + 2B - 4(4 - 4B)
-12 = -6B + 2 + 2B - 16 + 16B
-12 = 12B - 14
12B = 2
B = 212 = 16
Então:
A = 3(16) - 1 = 12 - 1 = -12
C = 4 - 4(16) = 4 - 23 = 103

Passo 6

Agora que temos A, B e C, substituímos de volta na expressão de Y(s):
Y(s) = -12s + 2 + 16s - 2 + 103s + 1
Simplificando:
Y(s) = -12cdot1s + 2 + 16cdot1s - 2 + 103cdot1s + 1

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para cada termo:
L^-11s + a = e^-at
Então:
f(t) = -12e^-2t + 16e^2t + 103e^-t

Resposta

A solução do PVI é:
f(t) = -12e^-2t + 16e^2t + 103e^-t

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