Considere o quadrado
e
uma aplicação linear onde
e
. Faça o esboço da nova região obtida de
após a aplicação da mudança de variável sugerida.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
e pede o esboço da imagem da região
por
. Informações e perguntas que temos claramente:
- Região de partida:
, ou seja o quadrado dos pares com - Aplicação linear
dada por - Pedido: desenhar (esboçar) a nova região
.
Nada mais é fornecido. A partir disso vamos encontrar a imagem dos vértices e das arestas do quadrado e obter uma descrição algébrica da região para guiar o desenho.
Passo 2
A maneira mais direta de começar é mandar os quatro vértices do quadrado através de
. Os vértices de
são
,
,
e
. Aplicando
em cada um:
-
Para
: então. -
Para
: então. -
Para
: então. -
Para
: então.
Portanto os quatro pontos imagem são
,
,
e
.
Passo 3
Explicar o que acontece às arestas (os lados do quadrado). Como
é linear, imagens de segmentos são segmentos (linhas retas). Vamos parametrizar cada aresta e ver a linha correspondente:
-
Aresta
: pontos . Imagem: que é a retaentre e . -
Aresta
: pontos . Imagem: que é a retaentre e . -
Aresta
: pontos . Imagem: que é a reta de inclinaçãoentre (quando ) e (quando ). -
Aresta
: pontos . Imagem: que é a reta de inclinaçãoentre (quando ) e (quando ).
Juntando esses segmentos observamos que as imagens das quatro arestas formam um paralelogramo com vértices nos pontos calculados no Passo 2.
Passo 4
Uma forma elegante e útil para descrever a região é inverter a transformação e traduzir as condições
em condições sobre
e
.
Das fórmulas
e
podemos resolver para
e
. Somando e subtraindo:
Como
significa
e
, substituindo:
Multiplicando por
obtemos as desigualdades equivalentes:
Essas quatro desigualdades descrevem a interseção de quatro semi-planos e definem exatamente o paralelogramo cuja fronteira já identificamos. Portanto
Observação rápida (intuitiva): a transformação linear tem matriz
cujo determinante é
, portanto a área da imagem é
vezes a área do quadrado original. Como a área do quadrado é
, a área do paralelogramo é
. Isso confirma que a imagem não é um quadrado menor, mas um paralelogramo esticado.]
Passo 5
Como esboçar na prática (passo-a-passo para desenhar na prova):
- Marque os pontos
no plano cartesiano. - Conecte-os na ordem que forma o contorno:
– – – – de volta a . Cada lado é um segmento de reta com inclinação . - Sombras ou pinta o interior desse paralelogramo; esse é
.
Geometricamente, o paralelogramo é simétrico em relação ao eixo
, com vértices nos pontos acima, e suas diagonais são as retas
e
(a segunda é a média dos vértices horizontais). Esse é o esboço final.
Resposta
O conjunto
é o paralelogramo com vértices
,
,
e
; equivalentemente